Cho hàm số: có đồ thị (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2. Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M lập với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi bé nhất.

Câu hỏi số 5130:

Cho hàm số: $y=\frac{x+1}{x-1}$ có đồ thị (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 2. Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M lập với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi bé nhất.

A. x_o = 1 ± √2

B. x_o = 1 + √2

C. x_o = 1 - √2

D. x_o = 3 + √2

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:5130

Giải chi tiết

1. Bạn đọc tự giải

2. M ∈ (C) nên M có tọa độ M $\left ( x_{o};\frac{x_{o}+1}{x_{0}-1} \right )$

Tiếp tuyến với (C) tại M có phương trình:

y= f’(x_o )(x - x_o ) + f(x_o ) = $\frac{-2}{(x_{_{0}}-1)^{2}}$ $(x-x_{0 })$ + $\frac{x_{0}+1}{x_{0}-1}$ .

Gọi A là giao điểm của tiếp tuyến với tiệm cận đứng, B là giao điểm với tiệm cận ngang, khi đó:

$A\left ( 1; \frac{x_{0}+3}{x_{0}-1}\right )$ , B(2x₀ – 1; 1).

Gọi I là giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là I(1; 1) ta có:

IA = |y_A– y₁|= $\left | \frac{x_{0}+3}{x_{0}-1}}-1 \right |$ = $\frac{4}{|x_{0}-1|}$ ;

IB = |x_B– x₁| =|2x_o – 1 – 1| = 2|x_o – 1|

=> S_∆IAB= $\frac{1}{2}$ IA.IB = 4 (đvdt)

Mặt khác:

AB² = IA²+ IB² ≥ 2IA.IB = 2. $\frac{4}{|x_{_{0}-1}|}2.|x_{0}-1|=16$ => AB ≥ 4

IA + IB ≥ $2\sqrt{IA.IB}$ = 2√8 = 4√2.

=> Chu vi ∆IAB = IA + IB + AB ≥ 4√2 + 4

=> ∆IAB có chu vi bé nhất <=> IA = IB

<=> $2|x_{0}-1|=\frac{4}{|x_{0}-1|}$ <=>(x_o – 1)² = 2.

Vậy x_o = 1± √2

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.