Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AD = 12cm\), \(AB = 18cm\). Các đường phân giác của hình chữ nhật
Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AD = 12cm\), \(AB = 18cm\). Các đường phân giác của hình chữ nhật cắt nhau tạo thành tứ giác \(EFGH\).
a) Chứng minh rằng \(EFGH\) là hình vuông.
b) Tính diện tích hình vuông \(EFGH\).
Quảng cáo
a) + Chứng minh \(EFGH\) là hình chữ nhật
+ Chứng minh \(\Delta ECD\) vuông cân tại \(E\).
+ Chứng minh \(EH = EF\). Từ đó suy ra \(EFGH\) là hình vuông.
b) + Gọi \(I\) là giao điểm của \(AB\) và \(DE\), \(K\) là giao điểm của \(BG\) và \(CK\).
+ Chứng minh rằng \(H\) là trung điểm của \(DI\) và \(F\) là trung điểm của \(BK\).
+ Tính \(IB\)
+ Chứng minh \(HIBF\) là hình bình hành. Từ đó tính được \(HF\).
+ Áp dụng công thức tính diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc để tính \({S_{EFGH}}\).
a) Ta có: \(DE\) là tia phân giác của \(\angle ADC\) (gt)
\(\angle EDC = \angle ADE = \frac{{\angle ADC}}{2} = \frac{{{{90}^0}}}{2} = {45^0}\) (\(\angle ADC = {90^0}\) vì \(ABCD\) là hình chữ nhật)
Chứng minh tương tự ta có:\(\angle ECD = \angle ECB = {45^0}\), \(\angle HAD = \angle HAB = {45^0}\), \(\angle FBC = \angle FBA = {45^0}\)
Xét \(\Delta ECD\) có:
\(\angle DEC + \angle EDC + \angle ECD = {180^0}\) (tổng ba góc trong tam giác)
\( \Rightarrow \angle DEC = {180^8} - \angle EDC - \angle ECD = {180^0} - {45^0} - {45^0} = {90^0}\)
Chứng minh tương tự ta có: \(\angle EHF = \angle HGF = \angle EFG = {90^0}\)
Do đó \(EFGH\) là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
Xét \(\Delta ECD\) vuông tại \(E\) có:
\(\angle EDC = \angle ADE = {45^0}\) (cmt)
\( \Rightarrow \Delta ECD\) vuông cân tại \(E\)
Xét \(\Delta AHD\) và\(\Delta BFC\) có:
\(\angle HAD = \angle FBC = {45^0}\) (cmt)
\(\angle HDA = \angle FCB = {45^0}\) (cmt)
\(AD = BC\) (vì \(ABCD\) là hình chữ nhật)
\( \Rightarrow \Delta AHD = \Delta BFC\) (g.c.g)
\( \Rightarrow HD = FC\) (\(2\) cạnh tương ứng)
Mà \(ED = EC\) (vì \(\Delta ECD\) vuông cân tại \(E\))
Do đó \(ED - HD = EC - FC\)
Hay \(EH = EF\)
Ta có: \(EFGH\) là hình chữ nhật (cmt)
Và \(EH = EF\) (cmt)
\( \Rightarrow EFGH\) là hình vuông (dấu hiệu nhận biết hình vuông)
b) Gọi \(I\) là giao điểm của \(AB\) và \(DE\), \(K\) là giao điểm của \(BG\) và \(CK\).
Xét \(\Delta ADI\) vuông tại \(A\) có:
\(\angle ADI = {45^0}\)(cmt)
\( \Rightarrow \Delta ADI\) vuông cân tại \(A\) (dấu hiệu nhận biết tam giác vuông cân)
Mà \(AH\) là đường cao của \(\Delta ADI\) (vì \(AH \bot DI\))
Do đó \(AH\) là đường trung tuyến của \(\Delta ADI\) (tính chất tam giác cân)
\( \Rightarrow H\) là trung điểm của \(DI\)
Chứng minh tương tự ta có: \(F\) là trung điểm của \(BK\)
Ta có: \(IB = AB - AI = AB - AD = 18 - 12 = 6\left( {cm} \right)\)
Ta có: \(\angle AID = \angle ABK = {45^0}\) (cmt)
Mà \(2\) góc ở vị trí đồng vị
\( \Rightarrow DI//BK\)
Xét tứ giác \(HIBF\) có:
\(BI//HF\) (vì \(AB//CD\))
\(HI//BF\) (vì \(DI//BK\))
\( \Rightarrow HIBF\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
\( \Rightarrow HF = BI = 6cm\) (tính chất hình bình hành)
Ta có: \(EFGH\) là hình vuông (cmt)
\( \Rightarrow EG \bot HF\) và \(HF = EG\) (tính chất hình vuông)
\( \Rightarrow {S_{EFGH}} = \frac{1}{2}.HF.EG = \frac{1}{2}.H{F^2} = \frac{1}{2}{.6^2} = 18\left( {c{m^2}} \right)\)
Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
