Cho hình bình hành \(ABCD\). Gọi \(P,Q,R,S\) lần lượt là trung điểm của các cạnh
Cho hình bình hành \(ABCD\). Gọi \(P,Q,R,S\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(CD,\,\,DA,\,\,AB,\,\,BC\). Đoạn \(DR\) cắt \(CQ,\,\,CA,\,\,SA\) theo thứ tự \(H,\,\,I,\,\,G\). Đoạn \(BP\) cắt \(SA,\,\,AC,\,\,CQ\) theo thứ tự tại \(F,\,\,J,\,\,E\). Chứng minh rằng:
a) Tứ giác \(EFGH\) là hình bình hành.
b) \(AI = IJ = JC\).
c) \({S_{EFGH}} = \frac{1}{5}{S_{ABCD}}\).
Quảng cáo
a) + Chứng minh \(AQCS\), \(DKBP\) là hình bình hành.
+ Chứng minh \(EFGH\) là hình bình hành.
b) Dựa vào định lí đường trung bình chứng minh \(I,J\) lần lượt là trung điểm của \(AJ,IC\).
Từ đó suy ra \(AI = IJ = JC\).
c) + Tính tỉ lệ độ dài \(QH\) và \(HE\).
+ Tính tỉ lệ diện tích hình bình hành \(ASCQ\) và \(EFGH\).
+ Tính tỉ lệ diện tích hình bình hành \(ASCQ\) và \(ABCD\).
Từ đó suy ra tỉ lệ diện tích hình bình hành \(ABCD\) và \(EFGH\).
a) Ta có: \(AQ = DQ = \frac{{AD}}{2}\)(gt)
\(CS = BS = \frac{{BC}}{2}\) (gt)
\(AD = BC\) (vì \(ABCD\) là hình bình hành)
Do đó \(AQ = DQ = CS = BS\)
Xét tứ giác \(ASCQ\) có:
\(AQ//CS\) (vì \(AD//BC\) do \(ABCD\) là hình bình hành)
\(AQ = CS\) (cmt)
\( \Rightarrow AQCS\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Chứng minh tương tự ta có: \(DKBP\) là hình bình hành
Xét tứ giác \(EFGH\) có:
\(EF//GH\) (vì \(BP//DK\) do \(DKBP\) là hình bình hành)
\(GF//HE\)(vì \(AS//CQ\) do \(ASCQ\) là hình bình hành)
\( \Rightarrow EFGH\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
b) Xét \(\Delta ABJ\) có:
\(RI//BJ\) (cmt)
\(R\) là trung điểm của \(AB\) (gt)
\( \Rightarrow I\) là trung điểm của \(AJ\) (định lí đường trung bình của tam giác)
\( \Rightarrow AI = IJ\)
Xét \(\Delta CID\) có:
\(PJ//ID\) (cmt)
\(P\) là trung điểm của \(CD\) (gt)
\( \Rightarrow J\) là trung điểm của \(CI\) (định lí đường trung bình của tam giác)
\( \Rightarrow IJ = CJ\)
Do đó \(AI = IJ = JC\)
c) Xét \(\Delta ADG\) có:
\(Q\) là trung điểm của \(AD\) (gt)
\(QH//AG\) (cmt)
\( \Rightarrow H\) là trung điểm của \(DG\) (định lí đường trung bình của tam giác)
Xét \(\Delta ADG\) có:
\(Q\) là trung điểm của \(AD\) (gt)
\(H\) là trung điểm của \(DG\) (cmt)
\( \Rightarrow QH\) là đường trung bình của \(\Delta ADG\) (định nghĩa đường trung bình của tam giác)
\( \Rightarrow \frac{{QH}}{{AG}} = \frac{{DQ}}{{DA}} = \frac{1}{2} \Rightarrow QH = \frac{1}{2}.AG\)
Xét \(\Delta AJF\) có:
\(I\) là trung điểm của \(AJ\) (cmt)
\(JG//GF\) (cmt)
\( \Rightarrow G\) là trung điểm của \(AF\) (định lí đường trung bình của tam giác)
\( \Rightarrow AG = GF\)
Mà \(QH = \frac{1}{2}AG\)(cmt) và \(GF = HE\) (vì \(EFGH\) là hình bình hành)
\( \Rightarrow QH = \frac{1}{2}HE\)
Ta có: \(QC = QH + HE + EC\)
Mà \(HE = EC\) (cmt) và \(QH = \frac{1}{2}HE\) (cmt)
\( \Rightarrow QC = \frac{1}{2}HE + HE + HE = \frac{5}{2}.HE\)
Kẻ \(GK \bot CQ\) tại \(K\)
Ta có: hình bình hành \(EFGH\) và \(ASCQ\) có chung độ dài đường cao bằng \(GK\).
\( \Rightarrow \frac{{{S_{EFGH}}}}{{{S_{ASGC}}}} = \frac{{HE}}{{CQ}} = \frac{2}{5} \Rightarrow {S_{EFGH}} = \frac{2}{5}.{S_{ASGC}}\)
Ta có: hình bình hành \(ABCD\) và \(ASCQ\) có chung đường cao hạ từ đỉnh \(A\).
\( \Rightarrow \frac{{{S_{ASCQ}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \frac{{SC}}{{BC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow {S_{ASCQ}} = \frac{1}{2}.{S_{ABCD}}\)
Do đó \({S_{EFGH}} = \frac{2}{5}.\frac{1}{2}.{S_{ABCD}} = \frac{1}{5}.{S_{ABCD}}\)
Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
