Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) \(\left( {AB < AC} \right)\). Gọi \(I\) là trung điểm của

Câu hỏi số 513714:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) \(\left( {AB < AC} \right)\). Gọi \(I\) là trung điểm của cạnh\(BC\). Qua \(I\) kẻ \(IM\) vuông góc vói \(AB\) tại \(M\) và \(IN\) vuông góc với \(AC\) tại \(N\). Lấy \(D\) đối vứng với \(I\) qua \(N\).

a) Tứ giác \(ADCI\) là hình gì? Vì sao?

b) Đường thẳng \(BN\) cắt \(DC\) tại \(K\). Chứng minh rằng \(\frac{{DK}}{{DC}} = \frac{1}{3}\).

c) Cho \(AB = 12cm,\,\,BC = 20cm\). Tính diện tích \(ADCI\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:513714

Phương pháp giải

a) + Chứng minh \(N\) là trung điểm của \(AC\).

+ Chứng minh \(AICD\) là hình bình hành (dựa vào tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

+ Chứng minh \(AICD\) là hình thoi (dựa vào hình bình hành có hai đường chéo vuông góc)

b) Chứng minh \(\Delta DKN = \Delta IGN\) (g.c.g). Từ đó suy ra \(DK = IG\)\( \Rightarrow \frac{{IG}}{{AI}} = \frac{1}{3}\)

c) + Chứng minh \(\Delta ACD = \Delta CAI\) (g.c.g). Từ đó suy ra \({S_{ACD}} = {S_{CAI}}\)

+ Dựa vào định lí Pytago tính \(CA\).

+ Tìm mối liên hệ giữa \({S_{CAI}}\) và \({S_{ABC}}\). Từ đó tính diện tích \({S_{CAI}}\).

+ Tìm mối liên hệ giữa \({S_{CAI}}\) và \({S_{ACDI}}\). Từ đó tính diện tích \({S_{ACDI}}\).

Giải chi tiết

a) Ta có: \(BA \bot CA\) (vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\))

\(IN \bot CA\) (gt)

\( \Rightarrow AB//IN\) (quan hệ giữa vuông góc và song song)

Xét \(\Delta ABC\) có:

\(I\) là trung điểm của \(BC\) (gt)

\(IN//AB\) (gt)

\( \Rightarrow N\) là trung điểm của \(AC\) (định lí đường trung bình tam giác)

Xét tứ giác \(AICD\) có:

\(DN = IN\) (gt)

\(CN = AN\) (cmt)

\(DI\) cắt \(CA\) tại \(N\)

\( \Rightarrow AICD\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Mà \(CA \bot ID\) tại \(N\)

Do đó \(AICD\) là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi)

b) Gọi \(G\) là giao điểm của \(AI\) và \(BN\) \( \Rightarrow G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\)

Xét \(\Delta DKN\) và \(\Delta IGN\) có:

\(\angle DNK = \angle ING\) (vì đối đỉnh)

\(\angle NDK = \angle NIG\)(vì 2 góc ở vị trí so le trong, \(CD//AI\) do \(AICD\) là hình thoi)

\(DN = IN\) (gt)

\( \Rightarrow \Delta DKN = \Delta IGN\) (g.c.g)

\( \Rightarrow DK = IG\) (2 cạnh tương ứng)

Mà \(DC = AI\)(vì \(AICD\) là hình thoi)

\( \Rightarrow \frac{{DK}}{{DC}} = \frac{{IG}}{{AI}}\)

Mà \(\frac{{IG}}{{AI}} = \frac{1}{3}\)(vì \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\))

\( \Rightarrow \frac{{DK}}{{DC}} = \frac{{IG}}{{AI}} = \frac{1}{3}\)

c) Xét \(\Delta ACD\) và \(\Delta CAI\) có:

\(\angle DCA = \angle IAC\) (vì 2 góc ở vị trí so le trong, \(CD//AI\))

\(\angle DAC = \angle ICA\)(vì 2 góc ở vị trí so le trong, \(AD//CI\) do \(AICD\) là hình thoi)

\(CA\) là cạnh chung

\( \Rightarrow \Delta ACD = \Delta CAI\) (g.c.g)

\( \Rightarrow {S_{ACD}} = {S_{CAI}}\)

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\) (định lí Pytago)

\( \Rightarrow C{A^2} = B{C^2} - A{B^2} = {20^2} - {12^2} = 256\)

\( \Rightarrow CA = 16cm\)

Ta có: \({S_{CAI}} = \frac{1}{2}.IN.CA\)

\({S_{BC}} = \frac{1}{2}.AB.CA\)

\( \Rightarrow \frac{{{S_{CAI}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{IN}}{{AB}} = \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow {S_{CAI}} = \frac{1}{2}.{S_{ABC}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.12.16 = 48\left( {c{m^2}} \right)\)

Ta có: \({S_{ACDI}} = {S_{ACD}} + {S_{CAI}} = 2{S_{CAI}} = 2.48 = 96\left( {c{m^2}} \right)\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link