Cho tứ giác \(ABCD\). Gọi \(E\) là trung điểm của \(AB\), gọi \(F\) là trung điểm của \(CD\). Gọi

Câu hỏi số 513722:

Vận dụng

Cho tứ giác \(ABCD\). Gọi \(E\) là trung điểm của \(AB\), gọi \(F\) là trung điểm của \(CD\). Gọi \(I\) là giao điểm của \(AF\) và \(DE\). Gọi \(K\) là giao điểm của \(BF\) và \(CE\). Chứng minh rằng:

a) \({S_{EDC}} = {S_{ADF}} + {S_{BCF}}\)

b) \({S_{EIFK}} = {S_{AID}} + {S_{BKC}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:513722

Phương pháp giải

a) Kẻ đường phụ: \(AA' \bot CD = \left\{ {A'} \right\};EE' \bot CD = \left\{ {E'} \right\};BB' \bot CD = \left\{ {B'} \right\}\)

+ Chứng minh \(ABB'A'\) là hình thang.

+ Chứng minh \(EE'\) là đường trung bình của hình thang \(ABB'A'\)

+ Chứng minh \({S_{EDC}} = \frac{1}{2}.{S_{ADC}} + \frac{1}{2}.{S_{BDC}}\)

+ Chứng minh \({S_{ADF}} = \frac{1}{2}.{S_{ADC}};\,\,{S_{BCF}} = \frac{1}{2}.{S_{BDC}}\).

Từ đó suy ra \({S_{EDC}} = {S_{ADF}} + {S_{BCF}}\).

b) Dựa vào Giải Câu a và phương pháp cộng diện tích suy ra \({S_{EIFK}} = {S_{ADI}} + {S_{BKC}}\).

Giải chi tiết

a) Kẻ \(AA' \bot CD = \left\{ {A'} \right\};EE' \bot CD = \left\{ {E'} \right\};BB' \bot CD = \left\{ {B'} \right\}\)

\( \Rightarrow AA'//BB'//EE'\)

Xét tứ giác \(ABB'A'\) có:

\(AA'//BB'\) (cmt)

\( \Rightarrow ABB'A'\) là hình thang (dấu hiệu nhận biết hình thang)

Mà \(E\) là trung điểm của \(AB\)(gt)

Và \(EE'//AA'//BB'\)

\( \Rightarrow E'\) là trung điểm của \(A'B'\) (định lí đường trung bình của hình thang)

Xét hình thang \(ABB'A'\) có:

\(E\) là trung điểm của \(AB\)(gt)

\(E'\) là trung điểm của \(A'B'\) (cmt)

\( \Rightarrow EE'\) là đường trung bình của hình thang \(ABB'A'\) (định nghĩa đường trung bình hình thang)

\( \Rightarrow EE' = \frac{1}{2}.\left( {AA' + BB'} \right)\) (tính chất đường trung bình hình thang)

Ta có: \({S_{EDC}} = \frac{1}{2}.DC.EE'\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}.DC.\left[ {\frac{1}{2}.\left( {AA' + BB'} \right)} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}.\left[ {\frac{1}{2}.DC.AA' + \frac{1}{2}.DC.BB'} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}.{S_{ADC}} + \frac{1}{2}.{S_{BDC}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Ta có: \(\Delta ADF\) và \(\Delta ADC\) có chung chiều cao kẻ từ đỉnh \(A\)

\( \Rightarrow \frac{{{S_{ADF}}}}{{{S_{ADC}}}} = \frac{{DF}}{{DC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow {S_{ADF}} = \frac{1}{2}.{S_{ADC}}\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Chứng minh tương tự ta có: \({S_{BCF}} = \frac{1}{2}.{S_{BDC}}\,\,\,\left( 3 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)\) ta có: \({S_{EDC}} = {S_{ADF}} + {S_{BCF}}\)

b) Ta có: \({S_{EDC}} = {S_{ADF}} + {S_{BCF}}\)

mà \({S_{ECD}} = {S_{EIFK}} + {S_{IDF}} + {S_{KCF}}\)

và \({S_{ADF}} = {S_{ADI}} + {S_{IDF}};\,\,{S_{BCF}} = {S_{BCK}} + {S_{KCF}}\)

do đó \({S_{EIFK}} = {S_{ADI}} + {S_{BKC}}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link