Cho tam giác\(ABC\) nhọn. Gọi\(M\) là điểm nằm trong \(\Delta ABC\). Xác định vị trí điểm \(M\)

Câu hỏi số 513728:

Vận dụng cao

Cho tam giác\(ABC\) nhọn. Gọi\(M\) là điểm nằm trong \(\Delta ABC\). Xác định vị trí điểm \(M\) nằm trong tam giác sao cho \(AM.BC + BM.CA + CM.AB\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:513728

Phương pháp giải

+ Gọi \(E,F\) là hình chiếu của \(B\) và \(C\) xuống \(AM\). Gọi \(K\) là giao điểm của \(AM\) với \(BC\).

+ Chứng minh \(BK \ge BE\) và \(CK \ge CF\).

+ Chứng minh \(AM.BC \ge 2\left( {{S_{ABM}} + {S_{ACM}}} \right)\); \(BM.CA \ge 2\left( {{S_{ABM}} + {S_{BCM}}} \right)\) và \(CM.AB \ge 2\left( {{S_{BCM}} + {S_{ACM}}} \right)\)

Từ đó suy ra \(AM.BC + BM.CA + CM.AB \ge 4{S_{ABC}}\)

+ Xác định vị trí của \(M\) để dấu bằng xảy ra.

Giải chi tiết

Gọi \(E,F\) là hình chiếu của \(B\) và \(C\) xuống \(AM\).

Gọi \(K\) là giao điểm của \(AM\) với \(BC\).

Ta có: \(BK \ge BE\) (vì \(BK\) là cạnh huyền của \(\Delta BKE\) vuông tại \(E\))

\(CK \ge CF\) (vì \(CK\) là cạnh huyền của \(\Delta CKF\) vuông tại \(F\))

Ta có: \(AM.BC = AM.\left( {BK + CK} \right) \ge AM.\left( {BE + CF} \right) = AM.BE + AM.CF\)

Mà \(AM.BE = 2.{S_{ABM}};AM.CF = 2.{S_{ACM}}\)

Do đó \(AM.BC \ge 2.{S_{ABM}} + 2.{S_{ACM}} = 2\left( {{S_{ABM}} + {S_{ACM}}} \right)\)

Chứng minh tương tự ta có: \(BM.CA \ge 2\left( {{S_{ABM}} + {S_{BCM}}} \right)\)

\(CM.AB \ge 2\left( {{S_{BCM}} + {S_{ACM}}} \right)\)

Do đó \(AM.BC + BM.CA + CM.AB \ge 2\left( {{S_{ABM}} + {S_{ACM}}} \right) + 2\left( {{S_{ABM}} + {S_{BCM}}} \right) + 2\left( {{S_{ABM}} + {S_{BCM}}} \right)\)

\( \Leftrightarrow AM.BC + BM.CA + CM.AB \ge 2.2.{S_{ABC}} = 4{S_{ABC}}\)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow M\) là trực tâm của \(\Delta ABC\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(AM.BC + BM.CA + CM.AB\) là \(4{S_{ABC}}\) khi \(M\) là trực tâm của \(\Delta ABC\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link