Cho hình bình hành \(ABCD\) và \(M\) là điểm cố định thuộc cạnh\(BC\). Lấy điểm \(N\) tùy ý

Câu hỏi số 513729:

Vận dụng cao

Cho hình bình hành \(ABCD\) và \(M\) là điểm cố định thuộc cạnh\(BC\). Lấy điểm \(N\) tùy ý thuộc cạnh \(AD\). Gọi \(R\) là giao điểm của \(AM\) và\(BN\); \(S\) là giao điểm của \(CN\) và \(DM\). Xác định vị trí của điểm \(N\) để diện tích tứ giác \(MRNS\) đạt giá trị lớn nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:513729

Phương pháp giải

+ Chứng minh \({S_{ABR}} = {S_{NRM}}\).

+ Chứng minh \({S_{ARN}}.{S_{BRM}} = {S_{NRM}}.{S_{BAR}}\)

+ Chứng minh \({S_{NRM}} + {S_{BAR}} \le \frac{1}{2}.{S_{ABMN}}\). Từ đó suy ra \({S_{NRM}} \le \frac{1}{4}.{S_{ABMN}}\).

+ Tương tự suy ra \({S_{SMN}} \le \frac{1}{4}.{S_{CMND}}\).

+ Chứng minh \({S_{MRNS}} \le \frac{1}{4}.{S_{ABCD}}\).

+ Xác định vị trí điểm \(N\) để dấu bằng xảy ra.

Giải chi tiết

Ta có: \(\Delta ABM\) và \(\Delta NMB\) có chung đáy \(BM\) và \(BC//AD\)

\( \Rightarrow {S_{ABM}} = {S_{NMB}}\)

Mà \({S_{ABM}} = {S_{ABR}} + {S_{BRM}};\,\,\,{S_{NBM}} = {S_{NRM}} + {S_{BRM}}\)

Do đó \({S_{ABR}} = {S_{NRM}}\)

Mà \(\frac{{{S_{ARN}}}}{{{S_{NRM}}}} = \frac{{{S_{BAR}}}}{{{S_{BRM}}}}\) (vì cùng bằng \(\frac{{AR}}{{RM}}\))

\( \Rightarrow {S_{ARN}}.{S_{BRM}} = {S_{NRM}}.{S_{BAR}}\)

Ta biết rằng:

\({\left( {{S_{ARN}} + {S_{BRM}}} \right)^2} \ge 4.{S_{ARN}}.{S_{BRM}} = 4.{S_{NRM}}.{S_{BAR}} \le {\left( {{S_{NRM}} + {S_{BAR}}} \right)^2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{ANR}} + {S_{BRM}} \ge {S_{NRM}} + {S_{BAR}}\\ \Rightarrow 2.\left( {{S_{ANR}} + {S_{BRM}}} \right) \ge {S_{ANR}} + {S_{BRM}} + {S_{NRM}} + {S_{BAR}}\\ \Rightarrow 2.\left( {{S_{ANR}} + {S_{BRM}}} \right) \ge {S_{ABMN}}\\ \Rightarrow {S_{ANR}} + {S_{BRM}} \ge \frac{1}{2}.{S_{ABMN}}\\ \Rightarrow {S_{NRM}} + {S_{BAR}} \le \frac{1}{2}.{S_{ABMN}}\end{array}\)

Mà \({S_{ABR}} = {S_{NRM}}\)

\( \Rightarrow {S_{NRM}} \le \frac{1}{4}.{S_{ABMN}}\)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow MN//AB\)

Chứng minh tương tự ta có: \({S_{SMN}} \le \frac{1}{4}.{S_{CMND}}\). Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow MN//CD\)

Do đó \({S_{NRM}} + {S_{SMN}} \le \frac{1}{4}.{S_{ABMN}} + \frac{1}{4}.{S_{CMND}}\)

Hay \({S_{MRNS}} \le \frac{1}{4}.{S_{ABCD}}\)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow MN//AB//CD\)\( \Leftrightarrow AN = BM\)

Vậy \(N\) thuộc cạnh\(AD\) và \(AN = BM\) thì \({S_{MRNS}}\) đạt giá trị lớn nhất.

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link