Cho Parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = - 2mx - 2m\). Tìm tất

Câu hỏi số 514101:

Vận dụng

Cho Parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = - 2mx - 2m\). Tìm tất cả giá trị của tham số \(m\) sao cho \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1}\) và \({x_2}\) thỏa mãn \(\left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right| = 2\sqrt 3 \).

A. \(m = 2\)

B. \(m = - 3\)

C. \(m = - 1\)

D. \(m = 3\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:514101

Phương pháp giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\), đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai một ẩn

Yêu cầu của đề bài \( \Leftrightarrow \)Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta > 0\) (hoặc \(\Delta ' > 0\))

Vận dụng hệ thức Vi – ét, tính được \({x_1} + {x_2}\) và \({x_1}.{x_2}\) theo tham số \(m\).

Biến đổi hệ thức của đề bài để xuất hiện được \({x_1} + {x_2}\) và \({x_1}.{x_2}\), sau đó giải phương trình chứa tham số \(m\), đối chiếu điều kiện và đưa ra kết luận.

Giải chi tiết

Hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) là nghiệm của phương trình:

\({x^2} = - 2mx - 2m \Leftrightarrow {x^2} + 2mx + 2m = 0\,\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có: \(\Delta ' = {m^2} - 2m\).

\(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1}\) và \({x_2}\) \( \Leftrightarrow \) Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\).

\( \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2m > 0 \Leftrightarrow m\left( {m - 2} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m > 2\\m > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m < 2\\m < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < 0\end{array} \right.\).

Theo định lí Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2m\\{x_1}.{x_2} = 2m\end{array} \right.\)

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right| = 2\sqrt 3 \\ \Leftrightarrow {\left( {\left| {{x_1}} \right| + \left| {{x_2}} \right|} \right)^2} = 12\\ \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 + 2\left| {{x_1}{x_2}} \right| = 12\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2}} \right) - 2{x_1}{x_2} + 2\left| {{x_1}{x_2}} \right| = 12\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + 2\left| {{x_1}{x_2}} \right| = 12\\ \Leftrightarrow {\left( { - 2m} \right)^2} - 2.\left( {2m} \right) + 2\left| {2m} \right| = 12\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m + 4\left| m \right| = 12\\ \Leftrightarrow {m^2} - m + \left| m \right| = 3\end{array}\)

Với \(m > 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| m \right| = m\\{m^2} > 4\end{array} \right.\) ta có:

\({m^2} - m + \left| m \right| = 3 \Leftrightarrow {m^2} = 3\) (Loại vì \({m^2} > 4\))

Với \(m < 0 \Rightarrow \left| m \right| = - m\) ta có: \({m^2} - m + \left| m \right| = 3 \Leftrightarrow {m^2} - 2m = 3 \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 3 = 0\).

Ta có \(a - b + c = 1 - \left( { - 2} \right) + \left( { - 3} \right) = 0\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}m = - 1\,\,\left( {tm} \right)\\m = - \frac{c}{a} = 3\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\).

Vậy \(m = - 1\) thì \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1}\) và \({x_2}\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link