Cho \(\Delta ABC\) có độ dài các cạnh là \(a,\,\,b,\,\,c\); độ dài các đường cao tương ứng là
Cho \(\Delta ABC\) có độ dài các cạnh là \(a,\,\,b,\,\,c\); độ dài các đường cao tương ứng là \({h_a},\,\,{h_b},\,\,{h_c}\). Biết rằng \(a + {h_a} = b + {h_b} = c + {h_c}\). Chứng minh rằng \(\Delta ABC\) là tam giác đều.
Quảng cáo
+ Chứng minh \(a + {h_a} = b + {h_b}\)\( \Leftrightarrow \Delta ABC\) cân tại \(C\) hoặc \(\Delta ABC\) vuông tại \(C\)
+ Chứng minh \(b + {h_b} = c + {h_c}\)\( \Leftrightarrow \Delta ABC\) cân tại \(A\) hoặc \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)
+ Chứng minh \(a + {h_a} = c + {h_c}\)\( \Leftrightarrow \Delta ABC\) cân tại \(B\) hoặc \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\)
Từ đó suy ra \(\Delta ABC\) đều.
Gọi \({S_{ABC}} = S\)
Ta có: \(a + {h_a} = b + {h_b}\)
\( \Leftrightarrow a - b = {h_a} - {h_b} = \frac{{2S}}{b} - \frac{{2S}}{a} = 2S.\left( {\frac{1}{b} - \frac{1}{a}} \right) = 2S.\frac{{a - b}}{{ab}}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow a - b - 2S.\frac{{a - b}}{{ab}} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {1 - \frac{{2S}}{{ab}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a - b = 0\\1 - \frac{{2S}}{{ab}} = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b\\S = \frac{{ab}}{2}\end{array} \right.\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \Delta ABC\) cân tại \(C\) hoặc \(\Delta ABC\) vuông tại \(C\) (1)
Tương tự ta có:
\(b + {h_b} = c + {h_c}\)\( \Leftrightarrow \Delta ABC\) cân tại \(A\) hoặc \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) (2)
\(a + {h_a} = c + {h_c}\)\( \Leftrightarrow \Delta ABC\) cân tại \(B\) hoặc \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\Delta ABC\) cân hoặc vuông ở ba đỉnh (Không xảy ra vuông tại ba đỉnh)
\( \Leftrightarrow \) \(\Delta ABC\) đều
Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
