Cho điểm \(O\) nằm trong tam giác \(ABC\), các tia \(AO,\,\,BO,\,\,CO\) cắt các cạnh của tam giác

Câu hỏi số 515616:

Vận dụng cao

Cho điểm \(O\) nằm trong tam giác \(ABC\), các tia \(AO,\,\,BO,\,\,CO\) cắt các cạnh của tam giác \(ABC\) theo thứ tự tại \(A',\,\,B',\,\,C'\).

a) Chứng minh rằng: \(\frac{{OA'}}{{AA'}} + \frac{{OB'}}{{BB'}} + \frac{{OC'}}{{CC'}} = 1\).

b) Chứng minh rằng: \(\frac{{OA}}{{AA'}} + \frac{{OB}}{{BB'}} + \frac{{OC}}{{CC'}} = 2\)

c) \(M = \frac{{OA}}{{OA'}} + \frac{{OB}}{{OB'}} + \frac{{OC}}{{OC'}}\). Tìm vị trí của \(O\) để tổng \(M\) có giá trị nhỏ nhất.

d) \(N = \frac{{OA}}{{OA'}}.\frac{{OB}}{{OB'}}.\frac{{OC}}{{OC'}}\). Tìm vị trí của \(O\)để tích \(N\)có giá trị nhỏ nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:515616

Phương pháp giải

+ Gọi \({S_{ABC}} = S\),\({S_{BOC}} = {S_1}\), \({S_{COA}} = {S_2}\), \({S_{AOB}} = {S_3}\).

+ Chứng minh \(\frac{{{\rm{OA'}}}}{{{\rm{AA'}}}} = \frac{{{{\rm{S}}_2} + {{\rm{S}}_3}}}{{{{\rm{S}}_1}}}\); \(\frac{{{\rm{OB'}}}}{{{\rm{BB'}}}} = \frac{{{{\rm{S}}_1} + {{\rm{S}}_3}}}{{{{\rm{S}}_2}}}\); \(\frac{{{\rm{OA'}}}}{{{\rm{AA'}}}} = \frac{{{{\rm{S}}_1} + {{\rm{S}}_2}}}{{{{\rm{S}}_3}}}\);\(\frac{{{\rm{OA'}}}}{{{\rm{AA'}}}}{\rm{ }} = \frac{{{{\rm{S}}_1}}}{{\rm{S}}}\); \(\frac{{{\rm{OB'}}}}{{{\rm{BB'}}}}{\rm{ = }}\frac{{{{\rm{S}}_2}}}{{\rm{S}}}\); \(\frac{{{\rm{OC'}}}}{{{\rm{CC'}}}}{\rm{ = }}\frac{{{{\rm{S}}_3}}}{{\rm{S}}}\)

a) + Biểu diễn \(\frac{{{\rm{OA'}}}}{{{\rm{AA'}}}} + \frac{{{\rm{OB'}}}}{{{\rm{BB'}}}} + \frac{{{\rm{OC'}}}}{{{\rm{CC'}}}}\) theo \({S_1},\,\,{S_2},\,\,{S_3},\,\,S\). Từ đó tính tổng\(\frac{{{\rm{OA'}}}}{{{\rm{AA'}}}} + \frac{{{\rm{OB'}}}}{{{\rm{BB'}}}} + \frac{{{\rm{OC'}}}}{{{\rm{CC'}}}}\)

b) + Biểu diễn \(\frac{{{\rm{OA}}}}{{{\rm{AA'}}}} + \frac{{{\rm{OB}}}}{{{\rm{BB'}}}} + \frac{{{\rm{OC}}}}{{{\rm{CC'}}}}\) theo \({S_1},\,\,{S_2},\,\,{S_3},\,\,S\). Từ đó tính tổng \(\frac{{{\rm{OA}}}}{{{\rm{AA'}}}} + \frac{{{\rm{OB}}}}{{{\rm{BB'}}}} + \frac{{{\rm{OC}}}}{{{\rm{CC'}}}}\)

c) + Biểu diễn \(M = \frac{{{\rm{OA}}}}{{{\rm{OA'}}}} + \frac{{{\rm{OB}}}}{{{\rm{OB'}}}} + \frac{{{\rm{OC}}}}{{{\rm{OC'}}}}\) theo \({S_1},\,\,{S_2},\,\,{S_3},\,\,S\).

+ Áp dụng Bất đẳng thức Cô – si tìm giá trị nhỏ nhất của \(M\). Từ đó xác định vị trí của \(O\).

d) + Biểu diễn \(N = \frac{{{{\rm{S}}_2} + {{\rm{S}}_3}}}{{{{\rm{S}}_1}}}.\frac{{{{\rm{S}}_1} + {{\rm{S}}_3}}}{{{{\rm{S}}_2}}}.\frac{{{{\rm{S}}_1} + {{\rm{S}}_2}}}{{{{\rm{S}}_3}}}\) theo \({S_1},\,\,{S_2},\,\,{S_3},\,\,S\).

+ Áp dụng Bất đẳng thức Cô – si tìm giá trị nhỏ nhất của \(N\). Từ đó xác định vị trí của \(O\).

Giải chi tiết

Gọi \({S_{ABC}} = S\),\({S_{BOC}} = {S_1}\), \({S_{COA}} = {S_2}\), \({S_{AOB}} = {S_3}\).

Khi đó ta có:

\(\frac{{{\rm{OA}}}}{{{\rm{OA'}}}}{\rm{ = }}\frac{{{{\rm{S}}_2}}}{{{{\rm{S}}_{{\rm{OA'C}}}}}}{\rm{ = }}\frac{{{{\rm{S}}_3}}}{{{{\rm{S}}_{{\rm{OA'B}}}}}} = \frac{{{{\rm{S}}_2} + {{\rm{S}}_3}}}{{{{\rm{S}}_1}}}\) (1)

\(\frac{{{\rm{OA'}}}}{{{\rm{AA'}}}}{\rm{ = }}\frac{{{{\rm{S}}_{{\rm{OA'C}}}}}}{{{{\rm{S}}_{{\rm{AA'C}}}}}}{\rm{ = }}\frac{{{{\rm{S}}_{{\rm{OA'B}}}}}}{{{{\rm{S}}_{{\rm{AA'B}}}}}} = \frac{{{{\rm{S}}_{{\rm{OA'C}}}} + {{\rm{S}}_{{\rm{OA'B}}}}}}{{{{\rm{S}}_{{\rm{AA'C}}}} + {{\rm{S}}_{{\rm{AA'B}}}}}} = \frac{{{{\rm{S}}_1}}}{{\rm{S}}}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{{\rm{OA'}}}}{{{\rm{AA'}}}} = \frac{{{{\rm{S}}_2} + {{\rm{S}}_3}}}{{{{\rm{S}}_1}}}\)

Tương tự ta có \(\frac{{{\rm{OB'}}}}{{{\rm{BB'}}}} = \frac{{{{\rm{S}}_1} + {{\rm{S}}_3}}}{{{{\rm{S}}_2}}}\); \(\frac{{{\rm{OA'}}}}{{{\rm{AA'}}}} = \frac{{{{\rm{S}}_1} + {{\rm{S}}_2}}}{{{{\rm{S}}_3}}}\); \(\frac{{{\rm{OB'}}}}{{{\rm{BB'}}}}{\rm{ = }}\frac{{{{\rm{S}}_2}}}{{\rm{S}}}\); \(\frac{{{\rm{OC'}}}}{{{\rm{CC'}}}}{\rm{ = }}\frac{{{{\rm{S}}_3}}}{{\rm{S}}}\)

a) Ta có: \(\frac{{{\rm{OA'}}}}{{{\rm{AA'}}}} + \frac{{{\rm{OB'}}}}{{{\rm{BB'}}}} + \frac{{{\rm{OC'}}}}{{{\rm{CC'}}}} = \frac{{{{\rm{S}}_1}}}{{\rm{S}}} + \frac{{{{\rm{S}}_2}}}{{\rm{S}}} + \frac{{{{\rm{S}}_3}}}{{\rm{S}}} = \frac{{\rm{S}}}{{\rm{S}}} = 1\)

b) Ta có: \(\frac{{{\rm{OA}}}}{{{\rm{AA'}}}} + \frac{{{\rm{OB}}}}{{{\rm{BB'}}}} + \frac{{{\rm{OC}}}}{{{\rm{CC'}}}} = \frac{{{{\rm{S}}_2} + {{\rm{S}}_3}}}{{\rm{S}}} + \frac{{{{\rm{S}}_1} + {{\rm{S}}_3}}}{{\rm{S}}} + \frac{{{{\rm{S}}_1} + {{\rm{S}}_3}}}{{\rm{S}}} = \frac{{2{\rm{S}}}}{{\rm{S}}} = 2\)

c) Ta có: \(M = \frac{{{\rm{OA}}}}{{{\rm{OA'}}}} + \frac{{{\rm{OB}}}}{{{\rm{OB'}}}} + \frac{{{\rm{OC}}}}{{{\rm{OC'}}}} = \frac{{{{\rm{S}}_2} + {{\rm{S}}_3}}}{{{{\rm{S}}_1}}} + \frac{{{{\rm{S}}_1} + {{\rm{S}}_3}}}{{{{\rm{S}}_2}}} + \frac{{{{\rm{S}}_1} + {{\rm{S}}_2}}}{{{{\rm{S}}_3}}}\)

\(\,\,\,\,\,\,\, = \left( {\frac{{{{\rm{S}}_1}}}{{{{\rm{S}}_2}}} + \frac{{{{\rm{S}}_2}}}{{{{\rm{S}}_1}}}} \right) + \left( {\frac{{{{\rm{S}}_3}}}{{{{\rm{S}}_2}}} + \frac{{{{\rm{S}}_2}}}{{{{\rm{S}}_3}}}} \right) + \left( {\frac{{{{\rm{S}}_1}}}{{{{\rm{S}}_3}}} + \frac{{{{\rm{S}}_3}}}{{{{\rm{S}}_1}}}} \right)\)

Áp dụng Bất đẳng thức Cô - si cho các số dương ta có:

\(\frac{{{{\rm{S}}_1}}}{{{{\rm{S}}_2}}} + \frac{{{{\rm{S}}_2}}}{{{{\rm{S}}_1}}} \ge 2.\sqrt {\frac{{{{\rm{S}}_1}}}{{{{\rm{S}}_2}}}.\frac{{{{\rm{S}}_2}}}{{{{\rm{S}}_1}}}} = 2\)

\(\frac{{{{\rm{S}}_3}}}{{{{\rm{S}}_2}}} + \frac{{{{\rm{S}}_2}}}{{{{\rm{S}}_3}}} \ge 2.\sqrt {\frac{{{{\rm{S}}_3}}}{{{{\rm{S}}_2}}}.\frac{{{{\rm{S}}_2}}}{{{{\rm{S}}_3}}}} = 2\)

\(\frac{{{{\rm{S}}_1}}}{{{{\rm{S}}_3}}} + \frac{{{{\rm{S}}_3}}}{{{{\rm{S}}_1}}} \ge 2.\sqrt {\frac{{{{\rm{S}}_1}}}{{{{\rm{S}}_3}}}.\frac{{{{\rm{S}}_3}}}{{{{\rm{S}}_1}}}} = 2\)

\( \Rightarrow \left( {\frac{{{{\rm{S}}_{\rm{1}}}}}{{{{\rm{S}}_{\rm{2}}}}} + \frac{{{{\rm{S}}_{\rm{2}}}}}{{{{\rm{S}}_{\rm{1}}}}}} \right) + \left( {\frac{{{{\rm{S}}_{\rm{3}}}}}{{{{\rm{S}}_{\rm{2}}}}} + \frac{{{{\rm{S}}_{\rm{2}}}}}{{{{\rm{S}}_{\rm{3}}}}}} \right) + \left( {\frac{{{{\rm{S}}_{\rm{1}}}}}{{{{\rm{S}}_{\rm{3}}}}} + \frac{{{{\rm{S}}_{\rm{3}}}}}{{{{\rm{S}}_{\rm{1}}}}}} \right) \ge 2 + 2 + 2 = 6\)

Đẳng thức xảy ra khi \({S_1} = {S_2} = {S_3}\) \( \Leftrightarrow \) \(O\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\)

Vậy \(Min\,\,M = 6\) khi \(O\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).

d) Ta có: \(N = \frac{{{{\rm{S}}_2} + {{\rm{S}}_3}}}{{{{\rm{S}}_1}}}.\frac{{{{\rm{S}}_1} + {{\rm{S}}_3}}}{{{{\rm{S}}_2}}}.\frac{{{{\rm{S}}_1} + {{\rm{S}}_2}}}{{{{\rm{S}}_3}}}\)

\(\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\left( {{{\rm{S}}_2} + {{\rm{S}}_3}} \right)\left( {{{\rm{S}}_1} + {{\rm{S}}_3}} \right)\left( {{{\rm{S}}_1} + {{\rm{S}}_2}} \right)}}{{{{\rm{S}}_1}{\rm{.}}{{\rm{S}}_2}.{{\rm{S}}_3}}}\)

\( \Rightarrow \)\({N^2} = \frac{{{{\left( {{{\rm{S}}_2} + {{\rm{S}}_3}} \right)}^2}{{\left( {{{\rm{S}}_1} + {{\rm{S}}_3}} \right)}^2}{{\left( {{{\rm{S}}_1} + {{\rm{S}}_2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{{\rm{S}}_1}{\rm{.}}{{\rm{S}}_2}.{{\rm{S}}_3}} \right)}^2}}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho các số dương ta có:

\({\left( {{S_2} + {S_3}} \right)^2} \ge 4{S_2}.{S_3}\)

\({\left( {{S_1} + {S_3}} \right)^2} \ge 4{S_1}.{S_3}\)

\({\left( {{S_1} + {S_2}} \right)^2} \ge 4{S_1}.{S_2}\)

Do đó ta có \({N^2} = \frac{{{{\left( {{{\rm{S}}_2} + {{\rm{S}}_3}} \right)}^2}{{\left( {{{\rm{S}}_1} + {{\rm{S}}_3}} \right)}^2}{{\left( {{{\rm{S}}_1} + {{\rm{S}}_2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{{\rm{S}}_1}{\rm{.}}{{\rm{S}}_2}.{{\rm{S}}_3}} \right)}^2}}} \ge \frac{{4{S_2}.{S_3}.4{S_1}.{S_3}.4{S_1}.{S_2}}}{{{{\left( {{{\rm{S}}_1}{\rm{.}}{{\rm{S}}_2}.{{\rm{S}}_3}} \right)}^2}}} = 64\)

\( \Rightarrow \)\(N \ge 8\)

Đẳng thức xảy ra khi \({S_1} = {S_2} = {S_3}\) \( \Leftrightarrow \) \(O\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\)

Vậy \(Min\,\,N = 8\) khi \(O\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link