Cho tam giác đều \(ABC\), các đường cao \(AD,\,\,BE,\,\,CF\); gọi \(A',\,\,B',\,\,C'\) là hình
Cho tam giác đều \(ABC\), các đường cao \(AD,\,\,BE,\,\,CF\); gọi \(A',\,\,B',\,\,C'\) là hình chiếu của \(M\) (nằm bên trong tam giác \(ABC\)) trên \(AD,\,\,BE,\,\,CF\). Chứng minh rằng: Khi \(M\) thay đổi vị trí trong tam giác \(ABC\) thì: \(A'D + B'E + C'F\) không đổi.
Quảng cáo
+ Gọi \(h = AD\) là chiều cao của tam giác \(ABC\) thì \(h\) không đổi.
Kẻ \(MP \bot AB\,\left( {P \in AB} \right);\,\,MQ \bot BC\,\left( {Q \in BC} \right);\,\,MR \bot AC\,\left( {R \in AC} \right)\).
+ Chứng minh \(A'D = MQ\), \(B'E = MR\); \(C'F = MP\). Từ đó suy ra \(A'D + B'E + C'F = MQ + MR + MP\).
+ Chứng minh \(A'D + B'E + C'F = AH = h\) không đổi.
Gọi \(h = AD\) là chiều cao của tam giác \(ABC\) thì \(h\) không đổi
Kẻ \(MP \bot AB\,\left( {P \in AB} \right);\,\,MQ \bot BC\,\left( {Q \in BC} \right);\,\,MR \bot AC\,\left( {R \in AC} \right)\).
Xét tứ giác \(MA'DQ\) có:
\(\begin{array}{l}\angle MQD = {90^0}\,(v\`i \,MQ \bot BC)\\\angle MA'D = {90^0}\,(v\`i \,MA' \bot AD)\\\angle A'DQ = {90^0}\,(v\`i \,A'D \bot BC)\end{array}\)
\( \Rightarrow MA'DQ\) là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
\( \Rightarrow A'D = MQ\)
Chứng minh tương tự ta có: \(B'E = MR\); \(C'F = MP\)
Khi đó ta có \(A'D + B'E + C'F = MQ + MR + MP\)
Vì \(M\)nằm trong tam giác \(ABC\)
nên \({S_{BMC}} + {S_{CMA}} + {S_{BMA}} = {S_{ABC}}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{2}.BC.MQ + \frac{1}{2}.BC.MR + \frac{1}{2}.BC.MP = \frac{1}{2}.BC.AH\\ \Leftrightarrow BC.\left( {MQ + MR + MP} \right) = BC.AH\\ \Leftrightarrow MQ + MR + MP = AH\\ \Leftrightarrow A'D + B'E + C'F = AH = h\end{array}\)
Vậy \(A'D + B'E + C'F = AH = h\) không đổi
Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
