Cho tam giác \(ABC\) có \(BC\) bằng trung bình cộng của \(AC\)và\(AB\); Gọi \(I\)là giao điểm của

Câu hỏi số 515618:

Vận dụng cao

Cho tam giác \(ABC\) có \(BC\) bằng trung bình cộng của \(AC\)và\(AB\); Gọi \(I\)là giao điểm của các phân giác, \(G\)là trọng tâm của tam giác. Chứng minh: \(IG//BC\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:515618

Phương pháp giải

+ Gọi khoảng cách từ \(A,\,\,I,\,\,G\) đến \(BC\)lần lượt là \(AH,\,\,IK,\,\,GD\).

+ Chứng minh \(BC.AH = IK.\left( {AB + BC + AC} \right)\). Từ đó suy ra \(IK = \frac{{AH}}{3}\) (1).

+ Chứng minh \(GD = \frac{{AH}}{3}\) (2)

Từ (1) và (2) chứng minh \(IG//BC\)

Giải chi tiết

Gọi khoảng cách từ \(A,\,\,I,\,\,G\) đến \(BC\)lần lượt là \(AH,\,\,IK,\,\,GD\).

Vì \(I\)là giao điểm của ba đường phân giác

nên khoảng cách từ \(I\)đến ba cạnh \(AB,\,\,BC,\,\,CA\) bằng nhau và bằng \(IK\).

Vì \(I\) nằm trong \(\Delta ABC\)

Nên \({S_{ABC}} = {S_{AIB}} + {S_{BIC}} + {S_{CIA}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{2}.BC.AH = \frac{1}{2}.IK.AB + \frac{1}{2}.IK.BC + \frac{1}{2}.IK.AC\\ \Leftrightarrow BC.AH = IK.\left( {AB + BC + AC} \right)\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

mà \(BC = \frac{{AB + CA}}{2}\)\( \Leftrightarrow AB + CA = 2BC\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Thay (2) vào (1) ta có: \(BC.AH = IK.3BC \Leftrightarrow IK = \frac{{AH}}{3}\)

Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên:

\({S_{BGC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}} \Leftrightarrow BC.GD = \frac{1}{3}.BC.AH \Leftrightarrow GD = \frac{{AH}}{3}\)

Từ (a) và (b) suy ra \(IK = GD\) hay khoảng cách từ \(I,\,\,G\) đến \(BC\) bằng nhau nên \(IG//BC\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link