Cho tam giác \(ABC\) có \(BC\) bằng trung bình cộng của \(AC\)và\(AB\); Gọi \(I\)là giao điểm của
Cho tam giác \(ABC\) có \(BC\) bằng trung bình cộng của \(AC\)và\(AB\); Gọi \(I\)là giao điểm của các phân giác, \(G\)là trọng tâm của tam giác. Chứng minh: \(IG//BC\).
Quảng cáo
+ Gọi khoảng cách từ \(A,\,\,I,\,\,G\) đến \(BC\)lần lượt là \(AH,\,\,IK,\,\,GD\).
+ Chứng minh \(BC.AH = IK.\left( {AB + BC + AC} \right)\). Từ đó suy ra \(IK = \frac{{AH}}{3}\) (1).
+ Chứng minh \(GD = \frac{{AH}}{3}\) (2)
Từ (1) và (2) chứng minh \(IG//BC\)
Gọi khoảng cách từ \(A,\,\,I,\,\,G\) đến \(BC\)lần lượt là \(AH,\,\,IK,\,\,GD\).
Vì \(I\)là giao điểm của ba đường phân giác
nên khoảng cách từ \(I\)đến ba cạnh \(AB,\,\,BC,\,\,CA\) bằng nhau và bằng \(IK\).
Vì \(I\) nằm trong \(\Delta ABC\)
Nên \({S_{ABC}} = {S_{AIB}} + {S_{BIC}} + {S_{CIA}}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{2}.BC.AH = \frac{1}{2}.IK.AB + \frac{1}{2}.IK.BC + \frac{1}{2}.IK.AC\\ \Leftrightarrow BC.AH = IK.\left( {AB + BC + AC} \right)\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
mà \(BC = \frac{{AB + CA}}{2}\)\( \Leftrightarrow AB + CA = 2BC\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Thay (2) vào (1) ta có: \(BC.AH = IK.3BC \Leftrightarrow IK = \frac{{AH}}{3}\)
Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên:
\({S_{BGC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}} \Leftrightarrow BC.GD = \frac{1}{3}.BC.AH \Leftrightarrow GD = \frac{{AH}}{3}\)
Từ (a) và (b) suy ra \(IK = GD\) hay khoảng cách từ \(I,\,\,G\) đến \(BC\) bằng nhau nên \(IG//BC\).
Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
