Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(E\), \(F\) lần lượt là trung điểm của \(BA\), \(BC\). Lấy điểm \(M\)
Cho tam giác \(ABC\). Gọi \(E\), \(F\) lần lượt là trung điểm của \(BA\), \(BC\). Lấy điểm \(M\) trên đoạn thẳng \(EF\) \(\left( {M \ne E,M \ne F} \right)\). Chứng minh rằng \({S_{AMB}} + {S_{BMC}} = {S_{MAC}}\).
Quảng cáo
+ Vẽ thêm đường phụ: Kẻ \(AH \bot BC,\,\,EK \bot BC\)
+ Chứng minh \(\frac{{EK}}{{AH}} = \frac{1}{2}\)
+ Chứng minh \({S_{ABC}} = 4{S_{BEF}}\)
+ Chứng minh \({S_{AMB}} = 2{S_{BME}}\) và \({S_{BMC}} = 2{S_{BMF}}\). Từ đó suy ra \({S_{AMB}} + {S_{BMC}} = \frac{1}{2}{S_{ABC}}\).
+ Chứng minh \({S_{AMB}} + {S_{BMC}} = {S_{AMC}}\)
Kẻ \(AH \bot BC,\,\,EK \bot BC\)
Do đó \(EK//AH\)
Mà \(E\)là trung điểm của \(AB\)
Do đó \(K\)là trung điểm của \(BH\) (định lí đường trung bình trong tam giác)
\( \Rightarrow EK\)là đường trung bình của \(\Delta ABH\) (định nghĩa đường trung bình của tam giác)
\( \Rightarrow \frac{{EK}}{{AH}} = \frac{1}{2}\) (tính chất đường trung bình của tam giác)
Ta có: \({S_{BEF}} = \frac{1}{2}.EK.BF\); \({S_{BC}} = \frac{1}{2}.AH.BC\)
\( \Rightarrow \frac{{{S_{BEF}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{EK}}{{AH}}.\frac{{BF}}{{BC}}\)
mà \(\frac{{EK}}{{AH}} = \frac{1}{2}\) (chứng minh trên) và \(\frac{{BF}}{{BC}} = \frac{1}{2}\) (vì \(F\) là trung điểm của \(BC\))
do đó \(\frac{{{S_{BEF}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{4}\)\( \Rightarrow {S_{ABC}} = 4{S_{BEF}}\)
Ta có: \(\Delta AMB\) và \(\Delta BME\) chung đường cao kẻ từ đỉnh \(M\)
nên \(\frac{{{S_{AMB}}}}{{{S_{BME}}}} = \frac{{AB}}{{BE}} = 2\) (vì \(E\)laf trung điểm của \(AB\))
\( \Rightarrow {S_{AMB}} = 2{S_{BME}}\)
Chứng minh tương tự ta có: \({S_{BMC}} = 2{S_{BMF}}\)
Ta có: \({S_{AMB}} + {S_{BMC}} = 2{S_{BME}} + 2{S_{BMF}} = 2\left( {{S_{BME}} + {S_{BMF}}} \right) = 2{S_{BEF}}\)
mà \({S_{ABC}} = 4{S_{BEF}}\)
\( \Rightarrow {S_{AMB}} + {S_{BMC}} = \frac{1}{2}{S_{ABC}}\)
mặt khác \({S_{AMB}} + {S_{BMC}} + {S_{AMC}} = {S_{ABC}}\)
do đó \({S_{AMB}} + {S_{BMC}} = {S_{AMC}}\)
Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
