Cho tam giác \(ABC\) có \(BC = a\), đường cao \(AH = h\). Từ điểm \(I\) trên đường cao \(AH\), vẽ

Câu hỏi số 517300:

Vận dụng cao

Cho tam giác \(ABC\) có \(BC = a\), đường cao \(AH = h\). Từ điểm \(I\) trên đường cao \(AH\), vẽ đường thẳng song song với \(BC\), cắt hai cạnh \(AB\), \(AC\) lần lượt tại \(M\) và \(N\). Vẽ \(MQ\), \(NP\) vuông góc với \(BC\). Đặt \(AI = x\)

a) Tính diện tích tứ giác \(MNPQ\) theo \(a\), \(h\), \(x\).

b) Xác định vị trí điểm \(I\) trên \(AH\) để diện tích tứ giác \(MNPQ\) lớn nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:517300

Phương pháp giải

a) + Chứng minh \(MNCB\) là hình thang.

+ Chứng minh \(MNPQ\) là hình chữ nhật.

+Tính \(IH\) và đặt \(MN = y\).

+ Biểu diễn \(y\) theo \(a,\,\,h,\,\,x\)dựa vào công thức diện tích \({S_{ABC}} = {S_{AMN}} + {S_{MNCB}}\).

+ Tính \({S_{MNPQ}}\) theo \(a,\,\,h,\,\,x\)

b) + Tìm giá trị lớn nhất của \({S_{MNPQ}}\) với biểu thức biểu diễn Giải Câu a theo các tìm GTLN đại số với ẩn là \(x\).

+ Xác định điều kiện để đẳng thức xảy ra từ đó kết luận vị trí điểm \(I\) thỏa mãn.

Giải chi tiết

a) Ta có: \(MN//BC\) (gt)

\( \Rightarrow MNCB\) là hình thang (dấu hiệu nhận biết hình thang)

Ta có: \(MQ \bot BC\) (gt)

và \(NP \bot BC\) (gt)

\( \Rightarrow MQ//NP\) (quan hệ giữa vuông góc và song song)

mà \(MN//QP\) (vì \(MN//BC\))

Do đó \(MNPQ\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

mà \(\angle MQP = {90^0}\)(vì \(MQ \bot BC\))

nên \(MNPQ\) là hình chữ nhật (đấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

Ta có: \(IH = AH - AI = h - x\)

Đặt \(MN = y\) ta có:

\({S_{ABC}} = {S_{AMN}} + {S_{MNCB}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{2}.AH.BC = \frac{1}{2}.AI.MN + \frac{1}{2}.\left( {MN + BC} \right).MQ\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}.h.a = \frac{1}{2}.x.y + \frac{1}{2}.\left( {y + a} \right).\left( {h - x} \right)\\ \Leftrightarrow a.h = x.y + y.h + a.h - a.x - x.y\\ \Leftrightarrow a.x = y.h\\ \Leftrightarrow y = \frac{{a.x}}{h}\end{array}\)

Do đó \(MN = \frac{{a.x}}{h}\)

Ta có: \({S_{MNPQ}} = MN.MQ = \frac{{a.x}}{h}.\left( {h - x} \right)\)

b) Ta có: \({S_{MNPQ}} = \frac{{a.x}}{h}.\left( {h - x} \right)\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{a}{h}.\left( {h.x - {x^2}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{a}{h}.\left[ { - \left( {{x^2} - hx + \frac{{{h^2}}}{4}} \right) + \frac{{{h^2}}}{4}} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{a}{h}.\left[ { - {{\left( {x - \frac{h}{2}} \right)}^2} + \frac{{{h^2}}}{4}} \right]\end{array}\)

Vì \({\left( {x - \frac{h}{2}} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x\) nên \(\, - {\left( {x - \frac{h}{2}} \right)^2} \le 0\) với mọi \(x\), do đó \( - {\left( {x - \frac{h}{2}} \right)^2} + \frac{{{h^2}}}{4} \le \frac{{{h^2}}}{4}\) với mọi \(x\)

\( \Rightarrow \frac{a}{h}.\left[ { - {{\left( {x - \frac{h}{2}} \right)}^2} + \frac{{{h^2}}}{4}} \right] \le \frac{a}{h}.\frac{{{h^2}}}{4} = \frac{{ah}}{4}\) với mọi \(x\)

Hay \({S_{MNPQ}} \le \frac{{a.h}}{4}\)

Đẳng thức xảy ra \( \Leftrightarrow x - \frac{h}{2} = 0\)

\( \Leftrightarrow x = \frac{h}{2}\)

\( \Leftrightarrow I\)là trung điểm của \(AH\)

Vậy diện tích \(MNPQ\)đạt giá trị lớn nhất bằng \(\frac{{a.h}}{4}\) khi \(I\)là trung điểm của \(AH\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link