Cho hình chữ nhật \(ABCD\). Vẽ điểm \(E\) đối xứng với \(B\) qua điểm \(C\). Vẽ điểm \(F\)

Câu hỏi số 518535:

Vận dụng

Cho hình chữ nhật \(ABCD\). Vẽ điểm \(E\) đối xứng với \(B\) qua điểm \(C\). Vẽ điểm \(F\) đối xứng với điểm \(D\) qua \(C\).

a) Chứng minh rằng: Tứ giác \(BDEF\) là hình thoi.

b) Chứng minh rằng: \(AC = DE\).

c) Gọi \(H\) là trung điểm của \(CD\), \(K\) là trung điểm của \(EF\). Chứng minh rằng: \(HK//AF\).

d) Biết diện tích \(\Delta AEF\) bằng \(30c{m^2}\). Tính diện tích hình chữ nhật \(ABCD.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:518535

Phương pháp giải

a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết của hình thoi: tứ giác là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.

b) Vận dụng tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.

c) Chứng minh \(ACDE\) là hình bình hành \( \Rightarrow H\)là trung điểm của \(AE\)

Chứng minh \(HK\) là đường trung bình của \(\Delta AEF\)\( \Rightarrow HK//AF\)

d) Chứng minh \({S_{\Delta AEF}} = {S_{\Delta AHF}} + {S_{\Delta EHF}} = \frac{3}{2}AD.DC\) để tính được diện tích của tam giác \(AEF\).

Giải chi tiết

a) Điểm \(E\) đối xứng với \(B\) qua điểm \(C\) (gt) \( \Rightarrow C\) là trung điểm của \(BE\) (tính chất đối xứng)

Điểm \(F\) đối xứng với \(D\) qua điểm \(C\) (gt) \( \Rightarrow C\)là trung điểm của \(DF\) (tính chất đối xứng)

Tứ giác \(BDEF\) có \(C\) là trung điểm của \(BE\) và \(DF\)

\( \Rightarrow BDEF\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow \angle ACD = {90^0} \Rightarrow BC \bot DC \Rightarrow BE \bot DF\)

Tứ giác \(BDEF\) là hình bình hành, lại có \(BE \bot DF\) (cmt)

\( \Rightarrow BDEF\) là hình thoi.

b) \(ABCD\) là hình chữ nhật (gt)\( \Rightarrow AC = BD\) (1) (tính chất của hình chữ nhật)

\(BCEF\) là hình thoi (cmt) \( \Rightarrow BD = DE = EF = BF\) (2) (tính chất của hình thoi)

Từ (1) và (2), suy ra \(AC = DE\)

c) \(ABCD\) là hình chữ nhật (gt)\( \Rightarrow AD = BC\) và \(AD//BC\) (tính chất của hình chữ nhật)

Lại có: \(BC = CE\) (do \(E\) đối xứng với \(B\) qua điểm \(C\) (gt))\( \Rightarrow CE//AD\) và \(CE = AD\)

\( \Rightarrow ACDE\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

\( \Rightarrow \) Hai đường chéo \(AE\) và \(DC\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà \(H\) là trung điểm của \(CD \Rightarrow H\) là trung điểm của \(AE\)

\(\Delta AEF\) có \(H\) là trung điểm của \(EF\) và \(K\) là trung điểm của \(EF\)

\( \Rightarrow HK\) là đường trung bình của \(\Delta AEF\)

\( \Rightarrow HK//AF\) (đpcm)

d) \(ABCD\) là hình chữ nhật \({S_{ABCD}} = AD.DC\)

Có \(HF = HC + CF = \frac{1}{2}DC + DC = \frac{3}{2}DC\)

Xét \(\Delta AHF\) có: \(AD \bot HF \Rightarrow {S_{\Delta AHF}} = \frac{1}{2}AD.HF \Rightarrow {S_{\Delta AHF}} = \frac{1}{2}AD.\frac{3}{2}DC = \frac{3}{4}AD.DC\)

Xét \(\Delta EHF\) có: \(CE \bot HF \Rightarrow {S_{\Delta EHF}} = \frac{1}{2}CE.HF \Rightarrow {S_{\Delta EHF}} = \frac{1}{2}AD.\frac{3}{2}DC = \frac{3}{4}AD.DC\)

Có \({S_{\Delta AEF}} = {S_{\Delta AHF}} + {S_{\Delta EHF}} = \frac{3}{2}AD.DC\)

\( \Rightarrow {S_{\Delta AEF}} = \frac{3}{2}{S_{ABCD}} \Rightarrow {S_{ABCD}} = \frac{2}{3}{S_{\Delta AEF}} = \frac{2}{3}.30 = 20\left( {c{m^2}} \right)\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link