Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\). Kẻ phân giác \(CD\left( {D \in AB} \right)\). Qua \(D\) kẻ đường

Câu hỏi số 521626:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\). Kẻ phân giác \(CD\left( {D \in AB} \right)\). Qua \(D\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(CD\) cắt \(BC\) tại \(F\) và cắt \(CA\) tại \(K\). Đường thằng kẻ qua \(D\) và song song với \(BC\) cắt \(AC\) tại \(E\). Phân giác của góc \(BAC\) cắt \(DE\) tại \(M\). Chứng minh rằng:

a) Hai tam giác \(CDF\) và \(CDK\) bằng nhau

b) Các tam giác \(DEC\) và \(DEK\) là các tam giác cân

c) \(CF = 2BD\)

d) \(MD = \dfrac{1}{4}CF\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:521626

Phương pháp giải

a) Chỉ ra \(\angle FCD = \angle ACD\) từ đó chứng minh được \(\Delta CDF = \Delta CDK\left( {c.g.c} \right)\)

b) Chứng minh hai góc kề một cạnh bằng nhau của tam giác thì tam giác đó là tam giác cân.

c) Từ \(D\) kẻ \(DI//EC\left( {I \in BC} \right)\)

Chứng minh được:

+ \(DI = EC\,\,\,\left( 1 \right)\); \(BD = CE\,\,\,\left( 2 \right)\)

+ \(ID = IC\,\,\,\left( * \right)\) và \(ID = IF\,\,\,\left( {**} \right)\) suy ra \(ID = \dfrac{1}{2}CF\,\,\,\left( 3 \right)\)

Từ (1), (2) và (3) ta có điều phải chứng minh.

d) Theo chứng minh c), suy ra được \(DE = IC\) và \(MD = ME\)

Mà \(DE = \dfrac{1}{2}CF\) suy ra điều phải chứng minh.

Giải chi tiết

a) Vì \(CD\) là tia phân giác của \(\angle ACB \Rightarrow \angle FCD = \angle ACD\)

Xét \(\Delta CDF\) và \(\Delta CDK\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle FCD = \angle ACD\left( {cmt} \right)\\CD\,\,chung\,\\\angle CDF = \angle CDK = {90^0}\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta CDF = \Delta CDK\left( {c.g.c} \right)\)

b) Vì \(DE//BC \Rightarrow \angle CDE = \angle DCB\) (hai góc ở vị trí so le trong)

Vì \(CD\) là tia phân giác của \(\angle ACB \Rightarrow \angle DCE = \angle DCB\)

Suy ra, \(\angle DCE = \angle CDE\left( { = \angle DCB} \right)\) do đó, \(\Delta DEC\) cân tại \(E\).

Ta có: \(\angle CKD = {90^0} - \angle KCD = {90^0} - \angle EDC = \angle KDE\)

Suy ra, \(\Delta DKE\) cân tại \(E\).

c) Từ \(D\) kẻ \(DI//EC\left( {I \in BC} \right)\)

Ta có: \(\Delta DIC = \Delta CED\left( {g.c.g} \right) \Rightarrow DI = EC\,\,\,\left( 1 \right)\)

Vì \(DE//BC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\angle ADE = \angle ABC\\\angle AED = \angle ACB\end{array} \right.\)

Mà \(\angle DAM = \angle EAM \Rightarrow \angle AMD = \angle AME \Rightarrow \Delta ADM = \Delta AEM\left( {g.c.g} \right) \Rightarrow AD = AE\)

Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(AB = AC \Rightarrow BD = CE\,\,\,\left( 2 \right)\)

Xét tam giác \(DIC\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle IDC = \angle DCE\\\angle DCI = \angle IDE\end{array} \right.\) mà \(\angle ICD = \angle ECD\) nên \(\angle IDC = \angle ICD\)

\( \Rightarrow \Delta IDC\) cân tại \(I\)\( \Rightarrow ID = IC\,\,\,\left( * \right)\)

Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle DFI + \angle DCI = {90^0}\\\angle FDI + \angle IDC = {90^0}\end{array} \right. \Rightarrow \angle DFI = \angle FDI \Rightarrow \Delta FDI\) cân tại \(I \Rightarrow ID = IF\,\,\,\left( {**} \right)\)

Từ (*) và (**), suy ra \(IC = IF = ID \Rightarrow ID = \dfrac{1}{2}CF\,\,\,\left( 3 \right)\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(CF = 2BD\)

d) Theo chứng minh c), ta có: \(\Delta DIC = \Delta CED\left( {g.c.g} \right) \Rightarrow DE = IC\)

Mà \(IC = \dfrac{1}{2}CF\) nên \(DE = \dfrac{1}{2}CF\).

Lại theo chứng minh c), \(\Delta ADM = \Delta AEM\left( {g.c.g} \right) \Rightarrow MD = ME\)

Suy ra, \(MD = \dfrac{1}{4}CF\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link