Cho đường tròn tâm O, bán kính R và dây cung BC cố định có độ dài BC = R√3. A là một điểm duy nhất thay đổi trên cung lớn BC. Gọi E là điểm đối xứng của B qua AC và F là điểm đối xứng của C qua AB. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABE và ACF cắt nhau tại K ( K ≠ A )

Trả lời cho các câu 1, 2, 3 dưới đây:

Câu hỏi số 1:

Chứng minh K luôn thuộc một đường tròn cố định

A. Click để xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:52474

Giải chi tiết

Xét đường tròn (ACF) có $\widehat{AKC} = \widehat{AFC}$

Xét đường tròn (ABE) có $\widehat{AKB} = \widehat{AEB}$

Xét đường tròn (O) có $\widehat{BAC} = \frac{1}{2} \widehat{BOC}$

C, F đối xứng qua AB nên: $\widehat{ACF} = \widehat{AFC}$ ; $\widehat{CAB} = \widehat{FAB}$

$\widehat{ABE} = \widehat{AEB}$ ; $\widehat{BAC} = \widehat{EAC}$

Mà $\widehat{ABE} = \widehat{ACF}$ (cùng phụ với góc BAC)

do đó $\widehat{BKC} + \widehat{BOC} = 180^0$

=> Tứ giác BOCK nội tiếp.

Vậy K thuộc một đường tròn cố định ngoại tiếp tam giác OBC

Đáp án cần chọn là: A

Câu hỏi số 2:

Xác định vị trí của điểm A để tam giác KBC có diện tích lớn nhất là tìm giá trị lớn nhất đó theo R

A. Click để xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:52475

Giải chi tiết

Vẽ OO' ⊥ BC tại O', KK' ⊥ BC tại K'/

Gọi I là giao điểm cảu BC và OO'

Ta có BO' = O'C = $\frac{1}{2}$ .BC = $\frac{R\sqrt{3}}{2}$

Do đó OO' = $\sqrt{OB^2 - BO'^2}$ = $\frac{1}{2}$ . R

cos $\widehat{BOO'}$ = $\frac{1}{2}$ => $\widehat{BOO'}$ = 60⁰

Nên $\widehat{BOC}$ = 120⁰

Do vậy, bán kinh đường tròn ngoại tiếp tam giác KBC là R

Ta có KK' ≤ KI (Vì KK' ⊥ BC), OI ≥ OO' ( OO' ⊥ OI), OK ≤ 2R (OK là dây cung của đường tròn (KBC))

Nên S_KBC = $\frac{1}{2}$ . KK'. BC ≤ $\frac{1}{2}$ . KI. BC ≤ $\frac{1}{2}$ . (OK - OI). BC ≤ $\frac{1}{2}$ (2R - $\frac{1}{2}$ .R).R√3

= $\frac{3\sqrt{3}R^2}{4}$ (không đổi)

Đáp án cần chọn là: A

Câu hỏi số 3:

Gọi H là giao điểm của BE và CF. chứng minh ∆ ABH ∽∆ AKC và đường thẳng AK luôn đi qua một điểm cố định

A. Click để xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:52476

Giải chi tiết

Ta có $\widehat{ACH} = \widehat{ABH}$ ; $\widehat{AEH} = \widehat{ABH}$ => $\widehat{ACH} = \widehat{AEH}$

=> Tứ giác AHCE nội tiếp => $\widehat{ACE} = \widehat{AHE}$

Ta có $\widehat{AKC} = \widehat{AFC}$ ; $\widehat{ACF} = \widehat{AFC}$ ; $\widehat{ACF} = \widehat{ABE}$ ;

$\widehat{AKE} = \widehat{ABE}$ => $\widehat{AKE} = \widehat{AKC}$

=> Hái tia KC, KE trùng nhau

nên có $\widehat{AHB}= \widehat{ACK}$

Mặt khác $\widehat{ABH}= \widehat{ACH}$ , $\widehat{AFC}= \widehat{ACH}$ ; $\widehat{AFC}= \widehat{AKC}$

=> $\widehat{ABH}= \widehat{AKC}$

∆ ABH ∽∆ AKC (g.g)

$\widehat{ABH}= 90^0 - \widehat{BAC}$

Mà $\widehat{OKC} = \widehat{OBC} = \frac{1}{2}(180^0 - \widehat{BOC}) = 90^0 - \widehat{BAC}$

Nên hai tia Ko, KA trùng nhau

Vậy AK luôn đi qua điểm O cố định

Đáp án cần chọn là: A

Quảng cáo

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link