Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật tâm \(O.\) Biết \(AB = a;\,BC = 2a;\,SO \bot \left( {ABCD} \right);\,SO = \dfrac{{3a}}{2}.\) Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC,SD.\) Mặt phẳng \(\left( {AMN} \right)\) cắt \(SC\) tại \(E.\) Thể tích \(V\) của khối đa diện lồi \(SABEN\) bằng

Câu 529315: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật tâm \(O.\) Biết \(AB = a;\,BC = 2a;\,SO \bot \left( {ABCD} \right);\,SO = \dfrac{{3a}}{2}.\) Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC,SD.\) Mặt phẳng \(\left( {AMN} \right)\) cắt \(SC\) tại \(E.\) Thể tích \(V\) của khối đa diện lồi \(SABEN\) bằng

A. \(\dfrac{{{a^3}}}{2}\)

B. \(\dfrac{{5{a^3}}}{{12}}\)

C. \(\dfrac{{7{a^3}}}{{12}}\)

D. \(\dfrac{{{a^3}}}{3}\)

Câu hỏi : 529315

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Xác định giao điểm \(E\) của mặt phẳng \(\left( {AMN} \right)\) và \(SC\).

Sử dụng định lí Ta-let để tính các tỉ số, từ đó suy ra được tỉ số \(\dfrac{{SE}}{{SC}}\)

Sử dụng tỉ lệ thể tích: \(\dfrac{{{V_{SABE}}}}{{{V_{SABC}}}} = \dfrac{{SE}}{{SC}};\,\dfrac{{{V_{SAEN}}}}{{{V_{SACD}}}} = \dfrac{{SE}}{{SC}}.\dfrac{{SN}}{{SD}}\) và \({V_{SABEN}} = {V_{SABE}} + {V_{SAEN}}\), từ đó suy ra \({V_{SABEN}}\)

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Trong mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right),\) \(AM \cap CD = F\)
Trong \(\left( {SCD} \right),\,FN \cap SC = E\)
Kẻ \(KN//CD \Rightarrow K\) là trung điểm của \(SC\)
Khi đó: \(KN = \dfrac{1}{2}CD\)
Ta có: \(AB = CF \Rightarrow CF = CD\)
Mà \(KN//CD \Rightarrow KN//CF \Rightarrow \dfrac{{KN}}{{CF}} = \dfrac{{KE}}{{CE}} = \dfrac{1}{2}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow KE = \dfrac{1}{2}EC \Rightarrow KE = \dfrac{1}{3}KC = \dfrac{1}{6}SC\\ \Rightarrow SE = KS + KE = \dfrac{1}{2}SC + \dfrac{1}{6}SC = \dfrac{2}{3}SC\end{array}\)
Ta có: \(\dfrac{{{V_{SABE}}}}{{{V_{SABC}}}} = \dfrac{{SE}}{{SC}} = \dfrac{2}{3}\)
\(\dfrac{{{V_{SAEN}}}}{{{V_{SACD}}}} = \dfrac{{SE}}{{SC}}.\dfrac{{SN}}{{SD}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3}\)
\(\dfrac{{{V_{ABEN}}}}{{\dfrac{1}{2}{V_{SABCD}}}} = \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} = 1 \Rightarrow {V_{SABEN}} = \dfrac{1}{2}{V_{SABCD}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{3}{2}a.2a = \dfrac{{{a^3}}}{2}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.