Xét các số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn \(\left( {x + y} \right)\left( {{5^x} - {{25}^{\dfrac{1}{{x + y}}}}} \right) = xz + yz - 2.\) Gía trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {\log _{\sqrt 5 }}z + {\log _5}\left( {4{x^2} + {y^2}} \right)\) bằng
Câu 529321: Xét các số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn \(\left( {x + y} \right)\left( {{5^x} - {{25}^{\dfrac{1}{{x + y}}}}} \right) = xz + yz - 2.\) Gía trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {\log _{\sqrt 5 }}z + {\log _5}\left( {4{x^2} + {y^2}} \right)\) bằng
A. \(1 - {\log _2}3\)
B. \(1 + {\log _2}3\)
C. \(5 - {\log _2}3\)
D. \( - 1 + 2{\log _5}4\)
Quảng cáo
Đặt \(\dfrac{2}{{x + y}} = a\) suy ra \({5^z} - {5^a} = z - a \Leftrightarrow {5^z} - z = {5^a} - a\)
Chỉ ra \(f\left( t \right) = {5^t} - t\) là hàm đồng biến trên \({\bf{R}}\).
Khi đó \(f\left( z \right) = f\left( a \right) \Rightarrow z = a \Rightarrow z = \dfrac{2}{{x + y}} \Rightarrow xz + yz = 2\)
Dùng BĐT Bu-nhi-a cốp-xki tìm giá trị nhỏ nhất của \(4{\left( {xz} \right)^2} + {\left( {yz} \right)^2}\) khi \(xz + yz = 2\).
-
Đáp án : D(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có: \(P = {\log _{\sqrt 5 }}z + {\log _5}\left( {4{x^2} + {y^2}} \right) = {\log _5}\left( {4{x^2}{z^2} + {y^2}{z^2}} \right)\)
\(\left( {x + y} \right)\left( {{5^z} - {5^{\dfrac{2}{{x + y}}}}} \right) = xz + yz - 2 \Rightarrow {5^z} - {5^{\dfrac{2}{{x + y}}}} = \dfrac{{xz + yz - 2}}{{x + y}}\)
Đặt \(\dfrac{2}{{x + y}} = a\) suy ra \({5^z} - {5^a} = z - a \Leftrightarrow {5^z} - z = {5^a} - a\)
Ta có: \(f\left( t \right) = {5^t} - t\) có \(f'\left( t \right) = {5^t}\ln 5 - 1 > \ln 5 - 1 > 0\)
Nên đây là hàm số đồng biến trên \({\bf{R}}\)
Khi đó \(f\left( z \right) = f\left( a \right) \Rightarrow z = a \Rightarrow z = \dfrac{2}{{x + y}} \Rightarrow xz + yz = 2\)
Ta tìm giá trị nhỏ nhất của \(4{\left( {xz} \right)^2} + {\left( {yz} \right)^2}\) khi \(xz + yz = 2\)
Ta có: \(\left[ {{{\left( {xz} \right)}^2} + {{\left( {yz} \right)}^2}} \right]\left[ {{{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2} + {1^2}} \right] \ge {\left( {xz + yz} \right)^2} = 4\)
Suy ra \(\left[ {{{\left( {xz} \right)}^2} + {{\left( {yz} \right)}^2}} \right] \ge \dfrac{4}{{\dfrac{1}{4} + 1}} = \dfrac{{16}}{5}\)
Khi đó \({\log _5}\dfrac{{16}}{5} = - 1 + 2{\log _5}4\)
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
