Xét các số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn \(\left( {x + y} \right)\left( {{5^x} - {{25}^{\dfrac{1}{{x +

Câu hỏi số 529321:

Vận dụng cao

Xét các số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn \(\left( {x + y} \right)\left( {{5^x} - {{25}^{\dfrac{1}{{x + y}}}}} \right) = xz + yz - 2.\) Gía trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {\log _{\sqrt 5 }}z + {\log _5}\left( {4{x^2} + {y^2}} \right)\) bằng

A. \(1 - {\log _2}3\)

B. \(1 + {\log _2}3\)

C. \(5 - {\log _2}3\)

D. \( - 1 + 2{\log _5}4\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:529321

Phương pháp giải

Đặt \(\dfrac{2}{{x + y}} = a\) suy ra \({5^z} - {5^a} = z - a \Leftrightarrow {5^z} - z = {5^a} - a\)

Chỉ ra \(f\left( t \right) = {5^t} - t\) là hàm đồng biến trên \({\bf{R}}\).

Khi đó \(f\left( z \right) = f\left( a \right) \Rightarrow z = a \Rightarrow z = \dfrac{2}{{x + y}} \Rightarrow xz + yz = 2\)

Dùng BĐT Bu-nhi-a cốp-xki tìm giá trị nhỏ nhất của \(4{\left( {xz} \right)^2} + {\left( {yz} \right)^2}\) khi \(xz + yz = 2\).

Giải chi tiết

Ta có: \(P = {\log _{\sqrt 5 }}z + {\log _5}\left( {4{x^2} + {y^2}} \right) = {\log _5}\left( {4{x^2}{z^2} + {y^2}{z^2}} \right)\)

\(\left( {x + y} \right)\left( {{5^z} - {5^{\dfrac{2}{{x + y}}}}} \right) = xz + yz - 2 \Rightarrow {5^z} - {5^{\dfrac{2}{{x + y}}}} = \dfrac{{xz + yz - 2}}{{x + y}}\)

Đặt \(\dfrac{2}{{x + y}} = a\) suy ra \({5^z} - {5^a} = z - a \Leftrightarrow {5^z} - z = {5^a} - a\)

Ta có: \(f\left( t \right) = {5^t} - t\) có \(f'\left( t \right) = {5^t}\ln 5 - 1 > \ln 5 - 1 > 0\)

Nên đây là hàm số đồng biến trên \({\bf{R}}\)

Khi đó \(f\left( z \right) = f\left( a \right) \Rightarrow z = a \Rightarrow z = \dfrac{2}{{x + y}} \Rightarrow xz + yz = 2\)

Ta tìm giá trị nhỏ nhất của \(4{\left( {xz} \right)^2} + {\left( {yz} \right)^2}\) khi \(xz + yz = 2\)

Ta có: \(\left[ {{{\left( {xz} \right)}^2} + {{\left( {yz} \right)}^2}} \right]\left[ {{{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2} + {1^2}} \right] \ge {\left( {xz + yz} \right)^2} = 4\)

Suy ra \(\left[ {{{\left( {xz} \right)}^2} + {{\left( {yz} \right)}^2}} \right] \ge \dfrac{4}{{\dfrac{1}{4} + 1}} = \dfrac{{16}}{5}\)

Khi đó \({\log _5}\dfrac{{16}}{5} = - 1 + 2{\log _5}4\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.