Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} + mx + m\) nghịch

Câu hỏi số 529639:

Vận dụng

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} + mx + m\) nghịch biến trên đoạn có độ dài lớn nhất bằng \(1\).

A. \(m = \dfrac{9}{4}\).

B. \(m = 3\).

C. \(m \le 3\).

D. \(\dfrac{9}{4} \le m < 3\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:529639

Phương pháp giải

+ Đạo hàm.

+ Với \({x_1};{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(y' = 0\) thì hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - {x^2} - \left( {3m + 2} \right)x + 2\) nghịch biến trên đoạn có độ dài lớn nhất bằng \(1\) tức là: \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| \le 1\)

+ Áp dụng định lí Vi-ét để tìm điều kiện của tham số \(m\)

Giải chi tiết

Ta có:\(y' = 3{x^2} + 6x + m\)

Có: \(\Delta ' = 9 - 3m > 0 \Leftrightarrow m < 3\)

Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(y' = 0\). Theo định lý Vi-ét ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 2\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{m}{3}\end{array} \right.\)

Khi đó điều kiện cần và đủ của bài toán chính là:

\(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| \le 1 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}.{x_2} \le 1 \Leftrightarrow {\left( { - 2} \right)^2} + \dfrac{{4m}}{3} \le 1 \Leftrightarrow \dfrac{{4m}}{3} \le - 3 \Leftrightarrow m \ge \dfrac{9}{4}\)

Vậy \(\dfrac{9}{4} \le m < 3\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.