Chứng minh rằng với \(\forall n \in \mathbb{N}\) thì \({3^n} + 4\) không là số chính phương.

Câu hỏi số 529663:

Thông hiểu

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:529663

Phương pháp giải

Xét với các trường hợp của \(n\)

Để chứng minh một khẳng định là đúng theo phương pháp phản chứng, ta thực hiện như sau:

- Bước 1: Giả sử \({3^n} + 4\) là số chính phương.

- Bước 2: Suy luận 1 số tính chất, quan hệ mới từ điều đã giả sử ở trên. Các tính chất, quan hệ mới này mâu thuẫn với đề bài hoặc điều vô lý.

- Bước 3: Suy ra điều giả sửa sai, tức là điều phải chứng minh đúng.

Giải chi tiết

- Với \(n = 0 \Rightarrow {3^n} + 4 = 5\) không là số chính phương.

- Với \(n = 1 \Rightarrow {3^n} + 4 = 7\) không là số chính phương.

- Với \(n \ge 2\).

Giả sử \({3^n} + 4\) là số chính phương.

\( \Rightarrow {3^n} + 4 = {m^2}\) \(\left( {m \in \mathbb{N},m > 3} \right)\).

\( \Leftrightarrow {m^2} - 4 = {3^n}\).

\( \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {m + 2} \right) = {3^n}\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 2 = {3^k}\\m + 2 = {3^q}\end{array} \right.\). \(\left( {k,q \in \mathbb{N};k + q = n} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {m + 2} \right) - \left( {m + 2} \right) = {3^q} - {3^k}\).

\( \Leftrightarrow 4 = {3^q} - {3^k}\) \(\left( * \right)\).

Ta thấy \(\left\{ \begin{array}{l}4\not \vdots 3\\\left( {{3^q} - {3^k}} \right) \vdots 3\end{array} \right.\) là điều mâu thuẫn với nhau so với đẳng thức \(\left( * \right)\).

Vậy \({3^n} + 4\) không là số chính phương với mọi số tự nhiên \(n\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link