Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì \({n^2} + 2\) không là số chính

Câu hỏi số 529664:

Thông hiểu

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì \({n^2} + 2\) không là số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:529664

Phương pháp giải

Để chứng minh một khẳng định là đúng theo phương pháp phản chứng, ta thực hiện như sau:

- Bước 1: Giả sử \({n^2} + 2\) là số chính phương.

- Bước 2: Suy luận 1 số tính chất, quan hệ mới từ điều đã giả sử ở trên. Các tính chất, quan hệ mới này mâu thuẫn với đề bài hoặc điều vô lý.

- Bước 3: Suy ra điều giả sửa sai, tức là điều phải chứng minh đúng.

Giải chi tiết

Giả sử \({n^2} + 2\) là số chính phương.

Khi đó đặt \({n^2} + 2 = {m^2}\) \(\left( {m \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).

\( \Leftrightarrow {m^2} - {n^2} = 2\) \(\left( 1 \right)\).

\( \Leftrightarrow \left( {m + n} \right).\left( {m - n} \right) = 2\) \(\left( 1 \right)\).

Như vậy, trong hai số \(m + n\) và \(m - n\) phải có ít nhất một số chẵn \(\left( 2 \right)\).

Mặt khác \(m + n + m - n = 2m\) chẵn.

Suy ra hai số \(m + n\) và \(m - n\) cùng tính chẵn lẻ \(\left( 3 \right)\).

Từ \(\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\) suy ra \(m + n\) và \(m - n\) là hai số chẵn.

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m + n} \right) \vdots 2\\\left( {m + n} \right) \vdots 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left[ {\left( {m + n} \right).\left( {m - n} \right)} \right] \vdots 4\)

\( \Rightarrow \left( {{m^2} - {n^2}} \right) \vdots 4\) mà \(2\not \vdots 4\), so sánh điều này với \(\left( 1 \right)\), ta thấy đây là điều vô lý.

Vậy với mọi số nguyên dương \(n\) thì \({n^2} + 2\) không là số chính phương.

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link