Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A.\) Các đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\) và \(\left( I
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A.\) Các đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\) và \(\left( I \right)\) đường kính \(AC\) cắt nhau tại điểm thứ hai là \(H\,\,\left( {H \ne A} \right).\) Đường thẳng \(\left( d \right)\) thay đổi đi qua \(A\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(M\) và cắt đường tròn \(\left( I \right)\) tại \(N\) (\(A\) nằm giữa \(M\) và \(N\)).
a) Đoạn thẳng \(OI\) lần lượt cắt các đường tròn \(\left( O \right),\,\,\left( I \right)\) tại \(D,\,\,E.\) Chứng minh \(OI\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AH\) và \(AB + AC - BC = 2DE.\)
b) Chứng minh giao điểm \(S\) của hai đường thẳng \(OM\) và \(IN\) di chuyển trên một đường tròn cố định khi đường thẳng \(\left( d \right)\) quay quanh \(A.\)
c) Giả sử đường thẳng \(MH\) cắt đường tròn \(\left( I \right)\) tại điểm thứ hai là \(T\,\,\left( {T \ne H} \right).\) Chứng minh ba điểm \(N,\,\,I,\,\,T\) thẳng hàng và ba đường thẳng \(MS,\,\,AT,\,\,NH\) đồng quy.
Quảng cáo
a) + Vận dụng mối quan hệ của đường kính và dây cung trong đường tròn \( \Rightarrow OI\) là trung trực của
+ Chứng minh được \(BC = 2OI\).
Biến đổi các đoạn thẳng theo các đoạn thẳng đã biết.
b) Chứng minh \(MS \bot NS \Rightarrow \angle MSN = 90^\circ \)
\( \Rightarrow S\) luôn di chuyển trên đường tròn đường kính \(OI\) cố định khi \(d\) quay quanh \(A\)
c) Chứng minh được: \(B,H,C\) thẳng hàng; \(N,I,T\) thẳng hàng.
Từ đó ta có \(MS \bot NT,AT \bot MN,NH \bot MT\)
\( \Rightarrow \) Ba đường thẳng \(MS,AT,NH\) đồng quy. (đpcm)
a) Ta có: \(AH\) là dây chung của hai đường tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( I \right)\) \( \Rightarrow OI\) là trung trực của \(AH\) (đpcm).
Vì \(OI\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\) \( \Rightarrow BC = 2OI\) (tính chất đường trung bình của \(\Delta \))
\(\begin{array}{l} \Rightarrow AB + AC - BC\\ = 2AO + 2AI - 2OI\\ = 2\left( {AO + AI - OI} \right)\\ = 2\left( {OD + EI - OI} \right)\\ = 2\left( {OD + ID + ED - OI} \right)\\ = 2\left( {OI + ED - OI} \right) = 2ED\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)
b) Ta có: \(\angle OMA = \angle OAM\) (\(\Delta OAM\) cân tại \(O\))
Và \(\angle INA = \angle IAN\) (\(\Delta IAN\) cân tại \(I\))
Mà \(\angle OAM + \angle IAN = 180^\circ - \angle BAC = 90^\circ \)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle OMA + \angle INA = 90^\circ \\ \Rightarrow MS \bot NS \Rightarrow \angle MSN = 90^\circ \end{array}\)
\( \Rightarrow S\) luôn di chuyển trên đường tròn đường kính \(OI\) cố định khi \(d\) quay quanh \(A\)
c) Ta có: \(\angle AHB = \angle AHC = 90^\circ \) \( \Rightarrow B,H,C\) thẳng hàng
Lại có: \(\angle TAC = \angle THB\) (tứ giác \(ACHT\) nội tiếp)
\(\angle THB = \angle MAB\) (tứ giác \(BHAM\) nội tiếp)
Suy ra \(\angle TAC = \angle MAB\), mà \(\angle TAC + \angle TAB = 90^\circ \)
\( \Rightarrow \angle MAB + \angle TAB = 90^\circ \) \( \Rightarrow AT \bot MN\)
\( \Rightarrow TN\) là đường kính đường tròn \(\left( I \right)\), suy ra \(N,I,T\) thẳng hàng.
Từ đó ta có \(MS \bot NT,AT \bot MN,NH \bot MT\)
\( \Rightarrow MS,AT,NH\) là ba đường cao của \(\Delta MTN\)
\( \Rightarrow \) Ba đường thẳng \(MS,AT,NH\) đồng quy. (đpcm)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
