Cho hàm số \(y = f(x)\)có đạo hàm trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right);\,\left( {0; + \infty }

Câu hỏi số 532319:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f(x)\)có đạo hàm trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right);\,\left( {0; + \infty } \right)\) sao cho \(f\left( {\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right) = \dfrac{{f({x_1})}}{{f({x_2})}}\) với mọi \({x_1};{x_2} \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\};f({x_2}) \ne 0\). Biết \(f'(1) = 2\), khi đó \(f'(x)\) bằng

A. \(2f(x)\)

B. \(\dfrac{{f(x)}}{x}\)

C. \(2xf(x)\)

D. \(\dfrac{{2f(x)}}{x}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:532319

Phương pháp giải

Cho \({x_1} = {x_2}\). Từ giả thiết \(f\left( {\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right) = \dfrac{{f({x_1})}}{{f({x_2})}}\) suy ra: \(f(1) = 1\).

Ta xét từng phương án xem có thỏa mãn \(f\left( {\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right) = \dfrac{{f({x_1})}}{{f({x_2})}}\)với mọi \({x_1};{x_2} \in {\bf{R}}\backslash \left\{ 0 \right\};f({x_2}) \ne 0\) và \(f'(1) = 2\).

Giải chi tiết

Cho \({x_1} = {x_2}\). Từ giả thiết\(f\left( {\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right) = \dfrac{{f({x_1})}}{{f({x_2})}}\) suy ra: \(f(1) = 1\).

Ta xét từng phương án:

Phương án A: thỏa mãn \(f'(1) = 2f(1) = 2\)

Giả sử \(f'(x) = 2f(x) \Rightarrow \dfrac{{f'(x)}}{{f(x)}} = 2\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\dfrac{{f'(x)}}{{f(x)}}dx = \int {2dx} \Rightarrow \ln \left| {f(x)} \right| = 2x + C} \\ \Rightarrow f(x) = {e^{2x + C}}\end{array}\)

Thử lại ta thấy khi đó, \(f\left( {\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right) \ne \dfrac{{f({x_1})}}{{f({x_2})}}\)với mọi \({x_1};{x_2} \in {\bf{R}}\backslash \left\{ 0 \right\};f({x_2}) \ne 0\). Nên loại A.

Phương án B: Ta có \(f'(1) \ne \dfrac{{f(1)}}{1}\,\,(2 \ne \dfrac{1}{1})\) nên loại B.

Phương án C. Giả sử \(f'(x) = 2xf(x)\)

Thỏa mãn \(f'(1) = 2.1f(1) = 2\)

Với \(f'(x) = 2xf(x) \Rightarrow \dfrac{{f'(x)}}{{f(x)}} = 2x\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {\dfrac{{f'(x)}}{{f(x)}}dx = \int {2xdx} \Rightarrow \ln \left| {f(x)} \right| = {x^2} + C} \\ \Rightarrow f(x) = {e^{{x^2} + C}}\end{array}\)

Vậy chọn phương án D.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.