Cho C là một điểm nằm trên nửa đường tròn tâm \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\,\,\,\left( {C

Câu hỏi số 532664:

Vận dụng cao

Cho C là một điểm nằm trên nửa đường tròn tâm \(\left( O \right)\) đường kính \(AB\,\,\,\left( {C \ne A,\,\,C \ne B} \right).\) Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(C\) trên \(AB,\,\,D\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(C,\,\,I\) là trung điểm của \(CH,\,\,J\) là trung điểm của \(DH\) và \(E\) là giao điểm của \(HD\) và \(BI.\) Chứng minh \(HE.HD = H{C^2}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:532664

Phương pháp giải

Ta chỉ ra được: \(\angle CIJ = \angle CBH\); \(\tan CBH = \dfrac{{CH}}{{BH}}\); \(\tan CIJ = \dfrac{{CJ}}{{CI}} = \dfrac{{CJ}}{{HI}}\) từ đó, suy ra \(\dfrac{{CH}}{{BH}} = \dfrac{{CJ}}{{HI}}\)

Ta sẽ chứng minh:

+ \( \Rightarrow \angle CHJ = \angle HBI\)

+ \( \Rightarrow HE.HJ = HC.HI\)

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}HJ = \dfrac{1}{2}HD\,\,\,\left( {gt} \right)\\HI = \dfrac{1}{2}HC\,\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right.\)

Suy ra \(HE.HD = H{C^2}\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)

Giải chi tiết

Ta có: \(\angle ACB\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\angle ACB = {90^0}\) hay \(\angle AC \bot BC\)

Xét \(\Delta AHD\) ta có:

\(C\) là trung điểm của \(AD\) (gt)

\(J\) là trung điểm của \(HD\) (gt)

\( \Rightarrow CJ\) là đường trung bình của \(\Delta AHD\) (định nghĩa đường trung bình của tam giác)

\( \Rightarrow CJ//AB\,\) (tính chất).

Mà \(CH \bot AH\)(do \(H\) là hình chiếu của \(C\) trên \(AB\))

Suy ra \(CJ \bot CH\)tại \(C\) (từ song song đến vuông góc).

\( \Rightarrow \angle HCJ = {90^0}\)

Xét \(\Delta CHD\) ta có:

\(I,\,\,J\) lần lượt là trung điểm của \(CH\) và \(HD\) (gt)

\( \Rightarrow IJ\) là đường trung bình của \(\Delta CHD\) (định nghĩa đường trung bình của tam giác).

\( \Rightarrow IJ//CD\) (tính chất đường trung bình của tam giác).

Lại có: \(BC \bot AC\,\,\left( {cmt} \right)\) hay \(BC \bot CD\)

\( \Rightarrow IJ \bot BC\) (từ song song đến vuông góc).

\( \Rightarrow \angle CIJ = \angle CBH\) (cùng phụ với \(\angle HCB\)) \(\left( 1 \right)\)

Trong \(\Delta CHB\) vuông tại \(H\) ta có: \(\tan CBH = \dfrac{{CH}}{{BH}}\) \(\left( 2 \right)\)

Trong \(\Delta CIJ\) vuông tại \(C\) ta có: \(\tan CIJ = \dfrac{{CJ}}{{CI}} = \dfrac{{CJ}}{{HI}}\) \(\left( 3 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right),\,\,\left( 3 \right)\) suy ra: \(\dfrac{{CH}}{{BH}} = \dfrac{{CJ}}{{HI}}\)

Xét \(\Delta CJH\)và \(\Delta HIB\) ta có:

\( \Rightarrow \angle CHJ = \angle HBI\) (2 góc tương ứng)

Mà \(\angle CHJ + \angle CHJ = {90^0}\)

Suy ra \(\angle HBI + \angle EHB = {90^0}\) \( \Rightarrow \Delta EHB\) vuông tại \(E\)

\( \Rightarrow \angle HEB = {90^0}\) hay \(\angle HEI = {90^0}\)

Xét \(\Delta HEI\) và \(\Delta HCJ\) ta có:

\( \Rightarrow \dfrac{{HE}}{{HC}} = \dfrac{{HI}}{{HJ}}\)\( \Leftrightarrow HE.HJ = HC.HI\)

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}HJ = \dfrac{1}{2}HD\,\,\,\left( {gt} \right)\\HI = \dfrac{1}{2}HC\,\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right.\)

Suy ra \(HE.HD = H{C^2}\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link