Cho tam giác ABC có \(\angle ACB > {90^0}\) nội tiếp trong đường tròn tâm \(O\). Gọi \(M\) là trung

Câu hỏi số 532672:

Vận dụng

Cho tam giác ABC có \(\angle ACB > {90^0}\) nội tiếp trong đường tròn tâm \(O\). Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\), đường thẳng OM cắt cung nhỏ \(cung\,\,BC\) tại D, cắt cung lớn \(cung\,\,BC\) tại \(E\). Gọi \(F\) là chân đường vuông góc hạ từ E xuống AB, H là chân đường vuông góc hạ từ \(B\) xuống \(AE\).

a) Chứng minh tứ giác \(BEHF\) là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh \(MF \bot AE\).

c) Đường thẳng MF cắt AC tại Q. Đường thẳng EC cắt AD, AB lần lượt tại I và K. Chứng minh: \(\angle EQA = {90^0}\) và \(\dfrac{{EC}}{{IC}} = \dfrac{{EK}}{{IK}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:532672

Phương pháp giải

a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau là tứ giác nội tiếp.

b) Ta sẽ chứng minh:

+ 5 điểm \(B,\,\,M,\,\,F,\,\,H,\,\,E\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BE\).

+ \(\angle MFB = \angle FBH\)

Suy ra \(MF//BH\) mà \(BH \bot AE\,\,\left( {gt} \right)\) nên \(MF \bot AE\,\,\left( {dpcm} \right)\) (quan hệ từ vuông góc đên song song)

c) Ta sẽ chứng minh:

+ \(\Delta FAQ\) cân tại A \( \Rightarrow AQ\, = AF\)

+ \(\Delta AEQ\)\( = \,\Delta AEF\)(c.g.c)

Suy ra \(\angle EQA = \angle EFA = {90^0}\) (2 góc tương ứng)

Sử dụng tích chất đường phân trong và đường phân giác ngoài của góc ở đỉnh \(A\)

Giải chi tiết

a) Ta có: \(\angle BFE = {90^0}\) (vì \(EF \bot AB\)); \(\angle BHE = {90^0}\) (vì \(BH \bot AE\)).

\( \Rightarrow \) 4 điểm \(B,\,\,F,\,\,H,\,\,E\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(BE\).

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(BEHF\) nội tiếp (đpcm)

b) Ta có: \(M\) là trung điểm \(BC\) nên \(OM \bot BC\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)

\( \Rightarrow \angle OMB = {90^0}\)

Mà \(\angle BFE = {90^0}\) (vì \(EF \bot AB\))

Suy ra 4 điểm \(B,\,\,M,\,\,E,\,\,F\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BE\).

\( \Rightarrow \) 5 điểm \(B,\,\,M,\,\,F,\,\,H,\,\,E\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BE\).

Ta có: \(\angle MFB = \angle MEB\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(BM\)).

\(\angle FBH = \angle FEH\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(HF\)).

Ta lại có:

\(\angle MEB + \angle BDE = {90^0}\) (tam giác \(BDE\) vuông tại \(B\) do có \(\angle DBE = {90^0}\) - góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

\(\angle FEH + \angle BAE = {90^0}\) (do tam giác \(AEF\) vuông tại \(F\))

Mà \(\angle BAE = \angle BDE\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(BE\)) nên \(\angle MEB = \angle FEH\).

\( \Rightarrow \angle MFB = \angle FBH\).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \(MF//BH\). Lại có \(BH \bot AE\,\,\left( {gt} \right)\).

Vậy \(MF \bot AE\,\,\left( {dpcm} \right)\).

c) Do \(OD\) là bán kính đi qua trung điểm dây cung \(BC\) nên \(D\) là điểm chính giữa cung nhỏ \(BC\).

\( \Rightarrow \)sđ \(cung\,BD = \)sđ \(cung\,DC = \dfrac{1}{2}\)sđ \(cung\,BC\)

\( \Rightarrow \angle BAD = \angle CAD\) (Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau)

Suy ra \(AD\) là phân giác trong góc \(BAC\).

Mà \(\angle EAD = {90^0}\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow AE \bot AD\).

Suy ra \(AE\) là phân giác góc ngoài của góc \(BAC\) nên \(AE\) là phân giác \(\angle FAQ\) (do \(\angle FAQ\) và \(\angle BAC\) kề bù) (1)

Mà \(AE\) cũng là đường cao của \(\Delta FAQ\) (do\(AE \bot MF\) tại \(G\)) ( chứng minh ý b)) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\Delta FAQ\) cân tại A \( \Rightarrow AQ\, = AF\) (tính chất tam giác cân).

Xét \(\Delta AQE\) và \(\Delta AFE\)ta có:

\(AE\) là cạnh chung

\(\angle EAQ = \angle EAF\) (trong tam giác cân, đường cao đồng thời là phân giác).

\(AQ\, = AF\,\,\left( {cmt} \right)\)

Do đó \(\Delta AEQ\)\( = \,\Delta AEF\)(c.g.c)

Suy ra \(\angle EQA = \angle EFA = {90^0}\) (2 góc tương ứng) (đpcm).

Xét tam giác \(KAC\) có \(AI\,,\,AE\) lần lượt là phân giác trong, phân giác ngoài của góc ở đỉnh \(A\).

Theo tính chất đường phân giác ta có: \(\dfrac{{EC}}{{EK}} = \dfrac{{IC}}{{IK}}\)(cùng bằng \(\dfrac{{AC}}{{AK}}\))

Vậy \(\dfrac{{EC}}{{IC}} = \dfrac{{EK}}{{IK}}\,\,\left( {dpcm} \right)\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link