Cho hàm số: \(y = \dfrac{{{{\sin }^3}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}x}}{{2 - \sin 2x}}\). Chứng minh rằng: \(2\left(

Câu hỏi số 535584:

Vận dụng

Cho hàm số: \(y = \dfrac{{{{\sin }^3}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}x}}{{2 - \sin 2x}}\). Chứng minh rằng: \(2\left( {{{y'}^2} + {{y''}^2}} \right) = 1\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:535584

Phương pháp giải

Rút gọn \(y = \dfrac{{{{\sin }^3}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}x}}{{2 - \sin 2x}}\)

Tính \(y'\) và \(y''\) để thay vào tính \(2\left( {{{y'}^2} + {{y''}^2}} \right)\)

Giải chi tiết

Ta có: \(y = \dfrac{{{{\sin }^3}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}x}}{{2 - \sin 2x}} = \dfrac{{\left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {{{\sin }^2}x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}.\cos x + co{s^2}x} \right)}}{{2\left( {1 - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}.\cos x} \right)}}\)\( = \dfrac{1}{2}.\left( {\sin x + \cos x} \right)\)

\(y' = \dfrac{1}{2}.\left( {cosx - \sin x} \right)\); \(y'' = \dfrac{1}{2}.\left( { - \sin x - \cos x} \right)\)

Ta có: \(2\left( {{{y'}^2} + {{y''}^2}} \right) = 2.\left( {\dfrac{1}{4}.{{\left( {cosx - \sin x} \right)}^2} + \dfrac{1}{4}.{{\left( {cosx + \sin x} \right)}^2}} \right)\)

\( = 2.\dfrac{1}{4}.\left( {2{{\sin }^2}x + 2co{s^2}x} \right) = 1\)(đpcm)

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.