Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\) cạnh \(a\), \(SA \bot \left( {ABCD}
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\) cạnh \(a\), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) và \({\rm{SA = a}}\sqrt 3 \).
a) Chứng minh: \(SBC,SDC\) là các tam giác vuông
b) Chứng minh: \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)\)
c) Tính góc hợp bởi \(SB\) và \(mp\left( {SAC} \right)\).
d) Gọi G là trọng tâm tam giác \(ABC\). Tính khoảng cách từ \(G\) đến \(mp\left( {SCD} \right)\).
Quảng cáo
- Để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, ta chứng minh đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng.
- Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, ta chứng minh một đường thẳng thuộc mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia.
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu vuông góc của đường thẳng trên mặt phẳng.
- Sử dụng tỉ lệ khoảng cách: Nếu \(AB//\left( {SCD} \right)\) thì \(d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right)\)
a) Ta có:
\(\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{BC \bot AB}\\{BC \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)}\end{array}} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\) \( \Rightarrow BC \bot SB \Rightarrow \) Tam giác \(SBC\) vuông tại B
\(\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{DC \bot AD}\\{DC \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)}\end{array}} \right\} \Rightarrow DC \bot \left( {SAD} \right)\)\( \Rightarrow DC \bot SD \Rightarrow \) Tam giác \(SCD\) vuông tại D
b) Ta có:
\(\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{BD \bot AC}\\{BD \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)}\end{array}} \right\}\)\( \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\)
Mà \(BD \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow \left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)\)
c) \(BO \bot \left( {SAC} \right)\) tại O nên \(SO\) là hình chiếu vuông góc của \(SB\) lên \(mp\left( {SAC} \right)\)
\(\angle \left( {SB,\left( {SAC} \right)} \right) = \angle \left( {SB,SO} \right)\)
Xét tam giác \(SAB\) vuông tại A: \(SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = 2a\)
Xét tam giác \(SBO\) vuông tại O có:
\(\sin OSB = \dfrac{{OB}}{{SB}} = \dfrac{{\dfrac{{BD}}{2}}}{{SB}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{2a}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4} \Rightarrow \angle OSB \approx 20^\circ 42'\)
\(\angle \left( {SB,\left( {SAC} \right)} \right) = \angle \left( {SB,SO} \right) = \angle OSB \approx 20^\circ 42'\)
d) Ta có:
\(\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{AB \not\subset \left( {SCD} \right)}\\{AB//CD}\end{array}} \right\} \Rightarrow AB//\left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)\)
\(\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{BD \cap \left( {SCD} \right) = D}\\{\dfrac{{BD}}{{GD}} = \dfrac{3}{2}}\end{array}} \right\} \Rightarrow d\left( {G,\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{2}{3}d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right)\)
Dựng đường cao của tam giác \(SAD\)
\(\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{AH \bot SD}\\{AH \bot CD\left( {CD \bot \left( {SAD} \right),AH \subset \left( {SAD} \right)} \right)}\end{array}} \right\} \Rightarrow AH \bot \left( {SCD} \right)\)
\( \Rightarrow d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = AH\)
Tam giác \(SAD\) vuông tại A có đường cao \(AH\)
\(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{D^2}}} \Rightarrow AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)\( \Rightarrow d\left( {G,\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
