Cho bất phương trình: 5√x + < 2x + + m( m là tham số). a.Giải bất phương trình khi m = 4. b. Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ [ ; 1 ]

Câu hỏi số 5380:

Cho bất phương trình: 5√x + $\frac{5}{2\sqrt{x}}$ < 2x + $\frac{1}{2x}$ + m( m là tham số). a.Giải bất phương trình khi m = 4. b. Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ [ $\frac{1}{4}$ ; 1 ]

A. m > 5√2 + 2

B. m > - 5√2 – 2

C. m > - 5√2 + 2

D. m > 5√2 – 2

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:5380

Giải chi tiết

Điều kiện: x > 0

BPT ⇔ 5(√x + $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ ) < 2( x + $\frac{1}{4x}$ ) + m.

Đặt √x + $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ = t

Để xét điều kiện cho t ta có:

√x + $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ ≥ 2. $\sqrt{\sqrt{x}.\frac{1}{2\sqrt{x}}}$ = √2; dấu “=” xảy ra khi x = $\frac{1}{2}$ .Do đó t ≥ √2.

Ta lại có t² = (√x + $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ )² = x + $\frac{1}{4x}$ + 1 =>x + $\frac{1}{4x}$ = t² -1.

a)Do đó BPT trở thành 5t < 2t² – 2 + 4 ⇔ 2t²– 5t + 2 > 0 ⇔ $\begin{bmatrix}t> 2\\t< \frac{1}{2}\end{bmatrix}$

kết hợp với t ≥ √2 suy ra t > 2.

Quay lại ẩn số x ta cần giải bất phương trình:

√x + $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ > 2 ⇔√x + $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ - 2 > 0 ⇔ $\frac{2x-4\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}}$ > 0

⇔ 2x – 4√x + 1 > 0 ⇔(√x - $\frac{2-\sqrt{2}}{2}$ )( √x - $\frac{2+\sqrt{2}}{2}$ ) > 0

⇔ $\begin{bmatrix}\sqrt{x}> \frac{2+\sqrt{2}}{2}\\\sqrt{x}< \frac{2-\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix}$ ⇔ $\begin{bmatrix}x> \frac{3}{2}+\sqrt{2}\\0< x< \frac{3}{2}-\sqrt{2}\end{bmatrix}$ ⇔ x∈( 0 ; -√2) ∪( + √2;+ ∞).
b.Với cách đặt ẩn phụ như trên ta có BPT đã cho trở thành:

5t < 2t² – 2 + m hay –m< 2t² – 5t – 2 ( 2)

Tuy vậy ở đây ta chỉ xét: x ∈[ $\frac{1}{4}$ ;1 ] nên điều kiện cho t cần tìm lại bằng cách:

Xét f(x) = √x + $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ , với $\frac{1}{4}$ ≤ x ≤ 1.

=>f’(x) > 0 ⇔ 1 > x > $\frac{1}{2}$ ; f’(x) < 0 ⇔ $\frac{1}{4}$ < x < $\frac{1}{2}$

Ta có bảng biến thiên:

Theo kết quả xét hàm số như trong bảng biến thiên thì t ∈ [√2; $\frac{3}{2}$ ]; bài toán trở thành: Tìm các giá trị của m để: 2t² – 5t -2 > -m nghiệm đúng với mọi t ∈ [√2; $\frac{3}{2}$ ]

Điều kiện để phương trình : 2t² – 5t – 2 > -m nghiệm đúng với mọi t ∈ [√2; $\frac{3}{2}$ ] là ( 2t² – 5t – 2 ) > -m.

Xét g(t) = ( 2t² – 5t – 2); t ∈ [√2; $\frac{3}{2}$ ] =>g’(t) = 4t – 5 => g’(t) = 0 khi t = $\frac{5}{4}$

Ta có bảng biến thiên :

Từ bảng biến thiên ta có:

2t² – 5t – 2 > - m ⇔ -m < 2 - 5√2 ⇔ m > 5√2 – 2.

Với m > 5√2 – 2 thì 5√x + $\frac{5}{2\sqrt{x}}$ < 2x + $\frac{1}{2x}$ + m đúng với mọi x ∈ [ $\frac{1}{4}$ ; 1]

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.