Cho a , b là những số thực thỏa mãn : a + b ≥ 0. Chứng minh: ( a + b)( a3 + b3 )( a5 + b5) ≤ 4( a9 + b9).

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Hàm số và các bài toán liên quan

Câu hỏi số 5384:

Cho a , b là những số thực thỏa mãn : a + b ≥ 0. Chứng minh: ( a + b)( a³ + b³ )( a⁵ + b⁵) ≤ 4( a⁹ + b⁹).

A. Dấu bằng xảy ra khi a = 1+ b.

B. Dấu bằng xảy ra khi -a = b.

C. Dấu bằng xảy ra khi a = b.

D. Dấu bằng xảy ra khi a = -b.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:5384

Giải chi tiết

Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sau:

Cho a,b là những số thực và a + b ≥ 0, m, n ∈ N^*.

Khi đó: $\frac{a^{m}+b^{m}}{2}$ . $\frac{a^{n}+b^{n}}{2}$ ≤ $\frac{a^{m+n}+b^{m+n}}{2}$ (1)

Dấu bằng xảy ra khi a = b.

Chứng minh (1) ⇔ a^{m + n} + b^{m + n} + a^mbⁿ+aⁿb^m ≤ 2(a^m+n + b^m+n)

⇔a^m+n- a^mbⁿ+ b^{m + n} - aⁿb^m ≥ 0 ⇔ (a^m – b^m)(aⁿ – bⁿ) ≥ 0. (2)

Nếu a ≥ b ≥ 0 =>(2) đúng do a^m – b^m ≥ 0 và aⁿ – bⁿ ≥ 0 .

Cũng vậy nếu a ≥ 0 ≥ b và aⁿ – bⁿ ≥ 0 =>(2) đúng.

Tương tự đối với các trường hợp còn lại . Vậy (1) được chứng minh.

Áp dụng với a+ b ≥ 0 , ta được:

$\frac{a+b}{2}$ . $\frac{a^{3}+b^{3}}{2}$ ≤ $\frac{a^{4}+b^{4}}{2}$ => ( a + b)( a³ + b³ ) ≤ 2(a⁴ + b⁴) (3)

$\frac{a^{4}+b^{4}}{2}$ . $\frac{a^{5}+b^{5}}{2}$ ≤ $\frac{a^{9}+b^{9}}{2}$ => (a⁴ + b⁴) )( a⁵ + b⁵) ≤ 2( a⁹ + b⁹)

Từ a+ b ≥ 0 => a ≥ - b => a⁵ ≥ (-b)⁵ = -b⁵ => a⁵ + b⁵≥ 0 ( 4)

Nhân vế với vế (3) và (4) => (a + b)( a³ + b³ )( a⁵ + b⁵) ≤ 4( a⁹ + b⁹) ( đpcm).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.