Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật \(AB = 2a;\,\,AD = a\). Hình chiếu của điểm \(S\)

Câu hỏi số 540330:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật \(AB = 2a;\,\,AD = a\). Hình chiếu của điểm \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) trùng với trung điểm cạnh \(AB\). Góc giữa \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \({45^0}\). Tính khoảng cách giữa \(AB\) và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\)

A. \(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

B. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\) .

C. \(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\).

D. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:540330

Phương pháp giải

Xác định góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).

Sử dụng tính chất: Nếu \(d\,\,//\,\,mp\,\left( P \right)\) thì \(d\left( {d;\,\,\left( P \right)} \right) = d\left( {H;\,\,\left( P \right)} \right)\) trong đó \(H\) là một điểm bất kì thuộc \(d\).

Suy ra khoảng cách giữa \(AB\) và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) là \(d\left( {AB;\,\,\left( {SCD} \right)} \right) = \,d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right)\) trong đó \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) lên \(\left( {ABCD} \right)\).

Giải chi tiết

Gọi \(H\) là trung điểm cạnh \(AB\). Gọi \(I\) là trung điểm cạnh \(CD\) và \(AC \cap BD = O\).

Hình chiếu của \(SC\) trên \(mp\,\,\left( {ABCD} \right)\) là \(\left( {SC;\,\,\left( {ABCD} \right)} \right) = \,\left( {SC;\,\,CH} \right) = \,\angle SCH = {45^0}\).

Trong \(\left( {SHI} \right)\) dựng \(HK \bot SI\).

Vì \(AB//\,\,CD \Rightarrow AB//\,\,mp\,\,\left( {SCD} \right)\). Do đó, \(d\left( {AB;\,\,\left( {SCD} \right)} \right) = \,d\left( {H;\,\,\left( {SCD} \right)} \right) = HK\).

Ta có \(CH = \,\sqrt {B{H^2} + B{C^2}} = \,\sqrt {{a^2} + a{}^2} = a\sqrt 2 ;\)

\(SH = \,CH.\tan \angle SCH = a\sqrt 2 .\tan {45^0} = a\sqrt 2 \).

Xét tam giác \(SHI\) vuông tại \(H;\,\,HK \bot SI\) ta có :

\(\dfrac{1}{{H{K^2}}} = \,\dfrac{1}{{S{H^2}}} + \dfrac{1}{{H{I^2}}} = \,\dfrac{1}{{2{a^2}}} + \,\dfrac{1}{{{a^2}}} = \,\dfrac{3}{{2{a^2}}}\, \Rightarrow HK = \,\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.