Cho tam giác \(ABC\) nhọn nội tiếp \(\left( O \right)\), các đường cao \(AD,BE,CF\) cắt nhau tại \(H\).
Cho tam giác \(ABC\) nhọn nội tiếp \(\left( O \right)\), các đường cao \(AD,BE,CF\) cắt nhau tại \(H\). Vẽ đường kính \(AQ\) của \(\left( O \right)\)
a) Chứng minh tứ giác \(AEHF\) là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh \(AB.QC = AQ.BD\).
c) Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\). Chứng minh rằng: \(AH = 2OI\).
d) Cho \(B,C\) cố định. Chứng minh rằng khi \(A\) di động trên cung \(BC\) lớn thì khoảng cách giữa hai điểm \(E\) và \(F\) không đổi.
a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle AEH = {90^0}\left( {BE \bot AC} \right)\\\angle AFH = {90^0}\left( {CF \bot AB} \right)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \angle AFH + \angle AEH = {180^0}\)
Xét tứ giác \(AEHF\): \(\angle AFH + \angle AEH = {180^0}\)
Mà \(\angle AFH\) và \(\angle AEH\) là hai góc đối nhau
\( \Rightarrow AEHF\) là tứ giác nội tiếp (dhnb tgnt)
b) Xét \(\left( O \right)\) có:
\(\angle ABD = \angle AQC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC\))
\(\angle ACQ = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta AQC\) có:
\(\begin{array}{l}\angle ADB = \angle ACQ = {90^0}\\\angle ABD = \angle AQC\left( {cmt} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \Delta ABD \sim \Delta AQC\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AQ}} = \dfrac{{BD}}{{QC}}\) (định nghĩa hai tam giác đồng dạng)
\( \Leftrightarrow AB.BC = AQ.BD\left( {dpcm} \right)\)
Xét \(\left( O \right):\angle ABQ = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
\( \Rightarrow BQ \bot AB\)
Mà \(CH \bot AB\left( {gt} \right)\)
\( \Rightarrow BQ//HC\) (cùng \( \bot AB\))
CMTT: \(BH//QC\)
Xét tứ giác \(BH//QC\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}BH//QC\left( {cmt} \right)\\CH//BQ\left( {cmt} \right)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \) Tứ giác \(BHCQ\) là hình bình hành (dhnb hbh)
Mà \(I\) là trung điểm của \(BC\left( {gt} \right)\)
\( \Rightarrow I\) là trung điểm của \(HQ\).
Xét \(\Delta AHQ\):
\(O\) là trung điểm \(AQ\)
\(I\) là trung điểm \(HQ\)
\( \Rightarrow OI\) là đường trung bình của \(\Delta AHQ\) (định nghĩa đường trung bình)
\( \Rightarrow OI = \dfrac{1}{2}AH\) (tính chất đường trung bình của tam giác)
\( \Leftrightarrow AH = 2OI\) (đpcm)
d) *) \(\angle BFC = \angle BEC = {90^0}\)
\(F,E\) là hai đỉnh kề nhau của tứ giác \(BFEC\)
\( \Rightarrow BFEC\) là tứ giác nội tiếp (dhnb tgnt)
\( \Rightarrow \angle FBC + \angle FEC = {180^0}\) (t/c của tứ giác nội tiếp)
Mà \(\angle AEF + \angle FEC = {180^0}\)
\( \Rightarrow \angle ABC = \angle AEF\)
Xét \(\Delta AEF\) và \(\Delta ABC\)
\(\begin{array}{l}\angle BAC\,\,chung\\\angle AEF = \angle ABC\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta AEF \sim \Delta ABC\left( {g.g} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{EF}}{{BC}} = \dfrac{{AE}}{{AB}}\) (định nghĩa hai tam giác đồng dạng)
\( \Rightarrow EF = \dfrac{{AE}}{{AB}}.BC\)
\(\Delta AEB\) vuông tại \(B \Rightarrow \cos \angle BAE = \dfrac{{AE}}{{AB}}\)
Mà \(\angle BAC = \dfrac{1}{2}\)sđ cung \(BC\) không đổi \( \Rightarrow \cos \angle BAE\) không đổi
\( \Rightarrow EF = \dfrac{{AE}}{{AB}}.BC = \cos \angle BAE.BC\)
\(\cos \angle BAE\) không đổi, \(BC\) không đổi
\( \Rightarrow EF\) không đổi (đpcm).
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com