Cho tam giác \(ABC\) nhọn nội tiếp \(\left( O \right)\), các đường cao \(AD,BE,CF\) cắt nhau tại \(H\).

Câu hỏi số 540608:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) nhọn nội tiếp \(\left( O \right)\), các đường cao \(AD,BE,CF\) cắt nhau tại \(H\). Vẽ đường kính \(AQ\) của \(\left( O \right)\)

a) Chứng minh tứ giác \(AEHF\) là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh \(AB.QC = AQ.BD\).

c) Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\). Chứng minh rằng: \(AH = 2OI\).

d) Cho \(B,C\) cố định. Chứng minh rằng khi \(A\) di động trên cung \(BC\) lớn thì khoảng cách giữa hai điểm \(E\) và \(F\) không đổi.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:540608

Giải chi tiết

a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle AEH = {90^0}\left( {BE \bot AC} \right)\\\angle AFH = {90^0}\left( {CF \bot AB} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \angle AFH + \angle AEH = {180^0}\)

Xét tứ giác \(AEHF\): \(\angle AFH + \angle AEH = {180^0}\)

Mà \(\angle AFH\) và \(\angle AEH\) là hai góc đối nhau

\( \Rightarrow AEHF\) là tứ giác nội tiếp (dhnb tgnt)

b) Xét \(\left( O \right)\) có:

\(\angle ABD = \angle AQC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC\))

\(\angle ACQ = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta AQC\) có:

\(\begin{array}{l}\angle ADB = \angle ACQ = {90^0}\\\angle ABD = \angle AQC\left( {cmt} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta ABD \sim \Delta AQC\left( {g.g} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AQ}} = \dfrac{{BD}}{{QC}}\) (định nghĩa hai tam giác đồng dạng)

\( \Leftrightarrow AB.BC = AQ.BD\left( {dpcm} \right)\)

Xét \(\left( O \right):\angle ABQ = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow BQ \bot AB\)

Mà \(CH \bot AB\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow BQ//HC\) (cùng \( \bot AB\))

CMTT: \(BH//QC\)

Xét tứ giác \(BH//QC\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}BH//QC\left( {cmt} \right)\\CH//BQ\left( {cmt} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(BHCQ\) là hình bình hành (dhnb hbh)

Mà \(I\) là trung điểm của \(BC\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow I\) là trung điểm của \(HQ\).

Xét \(\Delta AHQ\):

\(O\) là trung điểm \(AQ\)

\(I\) là trung điểm \(HQ\)

\( \Rightarrow OI\) là đường trung bình của \(\Delta AHQ\) (định nghĩa đường trung bình)

\( \Rightarrow OI = \dfrac{1}{2}AH\) (tính chất đường trung bình của tam giác)

\( \Leftrightarrow AH = 2OI\) (đpcm)

d) *) \(\angle BFC = \angle BEC = {90^0}\)

\(F,E\) là hai đỉnh kề nhau của tứ giác \(BFEC\)

\( \Rightarrow BFEC\) là tứ giác nội tiếp (dhnb tgnt)

\( \Rightarrow \angle FBC + \angle FEC = {180^0}\) (t/c của tứ giác nội tiếp)

Mà \(\angle AEF + \angle FEC = {180^0}\)

\( \Rightarrow \angle ABC = \angle AEF\)

Xét \(\Delta AEF\) và \(\Delta ABC\)

\(\begin{array}{l}\angle BAC\,\,chung\\\angle AEF = \angle ABC\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta AEF \sim \Delta ABC\left( {g.g} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{EF}}{{BC}} = \dfrac{{AE}}{{AB}}\) (định nghĩa hai tam giác đồng dạng)

\( \Rightarrow EF = \dfrac{{AE}}{{AB}}.BC\)

\(\Delta AEB\) vuông tại \(B \Rightarrow \cos \angle BAE = \dfrac{{AE}}{{AB}}\)

Mà \(\angle BAC = \dfrac{1}{2}\)sđ cung \(BC\) không đổi \( \Rightarrow \cos \angle BAE\) không đổi

\( \Rightarrow EF = \dfrac{{AE}}{{AB}}.BC = \cos \angle BAE.BC\)

\(\cos \angle BAE\) không đổi, \(BC\) không đổi

\( \Rightarrow EF\) không đổi (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link