Cho tam giác \(ABC\) có \(AD\) là đường phân giác, \(I\) là giao điểm của ba đường phân giác và

Câu hỏi số 540971:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) có \(AD\) là đường phân giác, \(I\) là giao điểm của ba đường phân giác và \(K\) là trung điểm của \(AB\). Biết rằng \(\angle KIB = {90^0}\). Chứng minh rằng: \(AB + AC = 3BC\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:540971

Phương pháp giải

Trên \(AB\) lấy điểm \(E\) sao cho \(BE = BD\).

Sử dụng định lý Ta – lét, ta có: \(\dfrac{{KE}}{{KA}} = \dfrac{{ID}}{{IA}}\)

Vận dụng tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có: \(\dfrac{{BD}}{{BA}} = \dfrac{{CD}}{{AC}} = \dfrac{{ID}}{{IA}}\)\( \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{BA}} = \dfrac{{CD}}{{AC}} = \dfrac{{BC}}{{AB + AC}}\)

Ta sẽ chứng minh được: \(\dfrac{{KE}}{{KA}} = \dfrac{{BE}}{{2KA}}\)

Từ đó, ta có điều phải chứng minh.

Giải chi tiết

Trên \(AB\) lấy điểm \(E\) sao cho \(BE = BD\).

Ta có: \(\Delta BED\) cân tại \(B\) có \(BI\) là đường phân giác nên \(BI\) cũng là đường cao nên \(BI \bot DE\).

Ta có: \(\angle KIB = {90^0} \Rightarrow BI \bot KI\)

Lại có: \(BI \bot DE\)

Suy ra, \(DE//KI\) (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Xét \(\Delta ADE\) có \(DE//KI\) , suy ra \(\dfrac{{KE}}{{KA}} = \dfrac{{ID}}{{IA}}\) (định lý Ta – lét) (1)

Xét \(\Delta ABC\) có:

+ \(BI\) là phân giác của \(\angle ABC \Rightarrow \dfrac{{ID}}{{IA}} = \dfrac{{BD}}{{BA}}\) (tính chất đường phân giác trong tam giác)

+ \(CI\) là phân giác của \(\angle ACB \Rightarrow \dfrac{{ID}}{{IA}} = \dfrac{{DC}}{{CA}}\) (tính chất đường phân giác trong tam giác)

\( \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{BA}} = \dfrac{{CD}}{{AC}} = \dfrac{{ID}}{{IA}}\) (2)

\( \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{BA}} = \dfrac{{CD}}{{AC}} = \dfrac{{BC}}{{AB + AC}}\) (tính chất dãy tỉ số bằng nhau) (3)

Từ (1) và (2), suy ra: \(\dfrac{{KE}}{{KA}} = \dfrac{{BD}}{{BA}} = \dfrac{{BE}}{{BA}} = \dfrac{{BE}}{{2KA}}\) (\(K\) là trung điểm của \(AB\) nên \(AB = 2KA\))

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2KE = BE\\ \Rightarrow BE = \dfrac{2}{3}BK\\ \Rightarrow BD = \dfrac{2}{3}BK\\ \Rightarrow BD = \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{4}AB\end{array}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{AB}} = \dfrac{1}{3}\) (4)

Từ (3) và (4), suy ra: \(\dfrac{{BC}}{{AB + AC}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow AB + AC = 3BC\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link