1) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{3x}}{{x - 1}} - \dfrac{2}{{y + 2}} =

Câu hỏi số 541098:

Vận dụng

1) Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{3x}}{{x - 1}} - \dfrac{2}{{y + 2}} = 4\\\dfrac{{2x}}{{x - 1}} + \dfrac{1}{{y + 2}} = 5\end{array} \right.\)

2) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho đường thẳng \(\left( d \right):{\rm{ }}y{\rm{ }} = {\rm{ }}3x{\rm{ }} + {\rm{ }}{m^2}--{\rm{ }}1\) và parabol \(\left( P \right):{\rm{ }}y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2}\)

a) Chứng minh \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt với mọi \(m\).

b) Gọi \({x_1},{\rm{ }}{x_2}\) là hoành độ các giao điểm của \(d\) và \(\left( P \right)\). Tìm \(m\) để \(\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) = 1\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:541098

Giải chi tiết

1) Giải hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{3x}}{{x - 1}} - \dfrac{2}{{y + 2}} = 4\\\dfrac{{2x}}{{x - 1}} + \dfrac{1}{{y + 2}} = 5\end{array} \right.\) ĐK \(x \ne 1;y \ne - 2\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{{x - 1}} = a\\\dfrac{1}{{y + 2}} = b\end{array} \right.\) \(\left( {b{\rm{ }} \ne {\rm{ }}0} \right)\).

Khi đó hệ phương trình trở thành:

\(\left\{ \begin{array}{l}3a - 2b = 4\\2a + b = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a - 2b = 4\\4a + 2b = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7a = 14\\2a + b = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\2.2 + b = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\end{array} \right.\)

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{{x - 1}} = 2\\\dfrac{1}{{y + 2}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2(x - 1) = x\\y + 2 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 1\end{array} \right.\) (Thỏa mãn điều kiện)

Vậy hệ phương trình có \(1\) nghiệm duy nhất \(\left( {2; - 1} \right)\).

2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y=3x + m² – 1 và parabol (P): y= x².

a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(d\) và \(\left( P \right)\):

\(\begin{array}{l}{x^2} = 3x + {m^2} - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} - 3x - {m^2} + 1 = 0(*)\end{array}\)

\(\Delta = {( - 3)^2} - 4.1.\left( { - {m^2} + 1} \right) = 4{m^2} + 5\)

\(\begin{array}{l}{m^2} \ge 0\quad \forall m \Rightarrow 4{m^2} + 5 > 0\quad \forall m\\ \Leftrightarrow \Delta > 0\quad \forall m\end{array}\)

Û Phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m\)

Û \(d\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt với mọi \(m\).

b) Gọi \({{\bf{x}}_{\bf{1}}};{\rm{ }}{{\bf{x}}_{\bf{2}}}\) là hoành độ các giao điểm của \(d\) và \(\left( P \right)\). Tìm \(m\) để \(\left( {{x_1} + 1} \right).\left( {{x_2} + 1} \right) = 1\)

Ta có \(\left( {{x_1} + 1} \right).\left( {{x_2} + 1} \right) = 1 \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 0(**)\)

Áp dụng hệ thức Vi-et cho (*): \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3\\{x_1}{x_2} = - {m^2} + 1\end{array} \right.\)

\((**) \Leftrightarrow - {m^2} + 1 + 3 = 0 \Leftrightarrow {m^2} = 4 \Leftrightarrow m = \pm 2\)

Vậy \(m = \pm 2\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link