Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và một điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến
Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và một điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến \(AB\) với đường tròn \(\left( O \right)\) \(9B\) là tiếp điểm) và đường kính \(BC\). Trên đoạn thẳng \(CO\) lấy điểm \(I\) (\(I\) khác \(C,I\) khác \(O\)). Đường thẳng \(AI\) cắt \(\left( O \right)\) tại hai điểm \(D\) và \(E\) (\(D\) nằm giữa \(A\) và \(E\)). Gọi \(H\) là trung điểm của đoạn thẳng \(DE\).
1) Chứng minh bốn điểm \(A,B,O,H\) cùng nằm trên một đường tròn.
2) Chứng minh \(\dfrac{{AB}}{{AE}} = \dfrac{{BD}}{{BE}}\)
3) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(E\) song song với \(AO\), \(d\) cắt \(BC\) tại điểm \(K\). Chứng minh \(HK{\rm{ }}//{\rm{ }}DC\)
4) Tia \(CD\) cắt \(AO\) tại điểm \(P\), tia \(EO\) cắt \(BP\) tại điểm \(F\). Chứng minh tứ giác \(BECF\) là hình chữ nhật.
Quảng cáo
1) Chứng minh bốn điểm \(A,B,O,H\) cùng nằm trên một đường tròn.
Vì \(AB\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nên \(AB \bot BO\)⇒ \(\angle ABO{\rm{ }} = {\rm{ }}{90^o}\)
Vì \(H\) là trung điểm của dây \(DE\) của \(\left( O \right)\) nên \(OH \bot DE\)\( \Rightarrow \) \(\angle AHO{\rm{ }} = {\rm{ }}{90^o}\)
Suy ra \(\angle ABO + \angle AHO = {180^o}\) \( \Rightarrow AHOB\) là tứ giác nội tiếp.
Suy ra bốn điểm \(A,{\rm{ }}H,{\rm{ }}O,{\rm{ }}B\) nằm trên cùng một đường tròn.
2) Chứng minh \(\dfrac{{AB}}{{AE}} = \dfrac{{BD}}{{BE}}\)
Có \(\angle ABD = \angle AEB\)(góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung \(BD\))
Xét \(\Delta {\rm{ }}ABD\)và \(\Delta AEB\) có:
chung góc BAE
\(\angle ABD = \angle AEB\)
(đpcm).
3) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(E\) song song với \(AO\), \(d\) cắt \(BC\) tại điểm \(K\). Chứng minh \(HK{\rm{ }}//{\rm{ }}DC\)
Vì \(ABOH\) là tứ giác nội tiếp nên \(\angle OAH = \angle OBH\)
Vì \(EK{\rm{ }}//{\rm{ }}AO\) nên \(\angle OAH = \angle HEK\)
Suy ra \(\angle OBH = \angle HEK \Rightarrow BHKE\) là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \angle KHE = \angle KBE\)
Vì \(BDCE\) là tứ giác nội tiếp nên \(\angle KBE = \angle CDE\)
Suy ra \(\angle KHE = \angle CDE \Rightarrow KH//CD\)
4) Tia \(CD\) cắt \(AO\) tại điểm \(P\), tia \(EO\) cắt \(BP\) tại điểm \(F\). Chứng minh tứ giác \(BECF\) là hình chữ nhật.
Gọi \(F'\) là giao điểm của \(BP\) và đường tròn \(\left( O \right)\).
Gọi \(AQ\) là tiếp tuyến thứ 2 của \(\left( O \right)\)
Vì \(BDQC\) là tứ giác nội tiếp nên \(\angle QDC = \angle QBC\) (1)
Vì \(ABOQ\) là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính \(AO\) nên \(\angle QBC = \angle QAO\) (2)
Từ (1), (2) \( \Rightarrow \angle QDC = \angle OAQ \Rightarrow APDQ\) là tứ giác nội tiếp.
\( \Rightarrow \angle PDA = \angle PQA\) (3)
Có \(\angle PDA = \angle EDC = \angle EBC\) (4)
Ta có: \(\Delta ABP = \Delta AQP\,\left( {c.g.c} \right)\, \Rightarrow \angle PQA = \angle PBA\) (5)
Từ (3), (4), (5) suy ra \(\angle PBA = \angle EBC\)
\( \Rightarrow \angle PBE = \angle ABC = {90^o} \Rightarrow \angle F'BE = {90^o}\)
\( \Rightarrow F'E\) là đường kính của \(\left( O \right)\)
\( \Rightarrow F' \in \left( {OE} \right) \Rightarrow F' \equiv F\)
Vì \(FBEC\) là tứ giác nội tiếp nên \(\angle FCE = {180^o} - \angle FBE = {90^o}\)
Tứ giác \(FBEC\) có \(\angle FCE = \angle FBE = \angle BEC = {90^o}\) nên là hình chữ nhật (dhnb) (đpcm).
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
