2) Chứng minh rằng \({\left( {4\sqrt x + 1} \right)^4} \ge 32\sqrt x \left( {16x + 1} \right),\,\,\forall x \ge

Câu hỏi số 541704:

Vận dụng

2) Chứng minh rằng \({\left( {4\sqrt x + 1} \right)^4} \ge 32\sqrt x \left( {16x + 1} \right),\,\,\forall x \ge 0\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:541704

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương: \(a + b\, \ge 2\sqrt {ab} \).

Dấu xảy ra \( \Leftrightarrow a = \,b\).

Giải chi tiết

Ta có: \({\left( {4\sqrt x + 1} \right)^4} = \,{\left[ {{{\left( {4\sqrt x + 1} \right)}^2}} \right]^2} = \,{\left( {16x + 1 + 8\sqrt x } \right)^2}\,\,\,\left( 1 \right)\).

Áp dụng BĐT cô-si cho hai hai số ta được: \(16x + 1 + 8\sqrt x \ge 2\sqrt {\left( {16x + 1} \right).8\sqrt x } \)

Suy ra \({\left( {16x + 1 + 8\sqrt x } \right)^2} \ge {\left[ {2\sqrt {\left( {16x + 1} \right).8\sqrt x } } \right]^2} = 32\sqrt x .\left( {16x + 1} \right)\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right);\,\left( 2 \right)\) ta được: \({\left( {4\sqrt x + 1} \right)^4} \ge 32\sqrt x \left( {16x + 1} \right),\,\,\forall x \ge 0\)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi:

\(16x + 1 = 8\sqrt x \, \Leftrightarrow 16x - 8\sqrt x \, + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {4\sqrt x - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \sqrt x = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow x = \,\dfrac{1}{{16}}\)

Vậy \({\left( {4\sqrt x + 1} \right)^4} \ge 32\sqrt x \left( {16x + 1} \right),\,\,\forall x \ge 0\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10