2) Chứng minh rằng \({\left( {4\sqrt x + 1} \right)^4} \ge 32\sqrt x \left( {16x + 1} \right),\,\,\forall x \ge

Câu hỏi số 541704:

Vận dụng

2) Chứng minh rằng \({\left( {4\sqrt x + 1} \right)^4} \ge 32\sqrt x \left( {16x + 1} \right),\,\,\forall x \ge 0\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:541704

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương: \(a + b\, \ge 2\sqrt {ab} \).

Dấu xảy ra \( \Leftrightarrow a = \,b\).

Giải chi tiết

Ta có: \({\left( {4\sqrt x + 1} \right)^4} = \,{\left[ {{{\left( {4\sqrt x + 1} \right)}^2}} \right]^2} = \,{\left( {16x + 1 + 8\sqrt x } \right)^2}\,\,\,\left( 1 \right)\).

Áp dụng BĐT cô-si cho hai hai số ta được: \(16x + 1 + 8\sqrt x \ge 2\sqrt {\left( {16x + 1} \right).8\sqrt x } \)

Suy ra \({\left( {16x + 1 + 8\sqrt x } \right)^2} \ge {\left[ {2\sqrt {\left( {16x + 1} \right).8\sqrt x } } \right]^2} = 32\sqrt x .\left( {16x + 1} \right)\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right);\,\left( 2 \right)\) ta được: \({\left( {4\sqrt x + 1} \right)^4} \ge 32\sqrt x \left( {16x + 1} \right),\,\,\forall x \ge 0\)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi:

\(16x + 1 = 8\sqrt x \, \Leftrightarrow 16x - 8\sqrt x \, + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {4\sqrt x - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \sqrt x = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow x = \,\dfrac{1}{{16}}\)

Vậy \({\left( {4\sqrt x + 1} \right)^4} \ge 32\sqrt x \left( {16x + 1} \right),\,\,\forall x \ge 0\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.