Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn, trong đó \(\angle A = {60^0}\), nội tiếp đường tròn \(\left( {O;R}
Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn, trong đó \(\angle A = {60^0}\), nội tiếp đường tròn \(\left( {O;R} \right)\). Các đường cao \(BM\) và \(CN\) cắt nhau tại \(H\).
a) Chứng minh \(AMHN\) và \(BNMC\) nội tiếp.
b) Vẽ đường kính \(AK\). Chứng minh \(BHCK\) là hình bình hành và ba điểm \(H,D,K\) thẳng hàng (với \(D\) là chân đường vuông góc kẻ từ \(O\) đến \(BC\))
c) Tính \(AH\) theo \(R\).
Quảng cáo
a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết:
+ Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp.
+ Tứ giác có hai đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau là tứ giác nội tiếp.
b) + Vận dụng dấu hiệu nhận biết: tứ giác có hai cặp cạnh đối song song là hình bình hành, ta sẽ chứng minh: Tứ giác \(BHCK\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}BH//CK\\BK//CH\end{array} \right.\)
+ Ta sẽ chứng minh \(D\) là trung điểm của \(HK \Rightarrow H,D,K\) thẳng hàng.
c) Tính \(\angle COD;OD\)
Chứng minh \(OD\) là đường trung bình của \(\Delta AHK \Rightarrow AH = 2DO\), từ đó tính được \(AH\).
a) Chứng minh \(AMHN\) và \(BNMC\) nội tiếp.
Ta có: \(CN \bot AB\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle ANC = \angle BNC = {90^0}\)
\(CM \bot AC\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle AMB = \angle CMB = {90^0}\)
Xét tứ giác \(AMHN\) có: \(\angle AMH + \angle ANH = \angle AMB + \angle ANC = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà \(\angle AMH\) và \(\angle ANH\) là hai góc đối nhau
\( \Rightarrow \) \(AMHN\) là tứ giác nội tiếp (dhnb tgnt)
Xét tứ giác \(BNMC\) có: \(\angle BNC = \angle BMC = {90^0}\)
Mà \(M,N\) là hai đỉnh kề nhau
\( \Rightarrow BNMC\) là tứ giác nội tiếp (dhnb tgnt)
b) Vẽ đường kính \(AK\). Chứng minh \(BHCK\) là hình bình hành và ba điểm \(H,D,K\) thẳng hàng (với \(D\) là chân đường vuông góc kẻ từ \(O\) đến \(BC\))
Ta có: \(B,C\) thuộc đường tròn đường kính \(AK\)
\( \Rightarrow \angle ABK = {90^0};\angle ACK = {90^0}\)
Do đó, \(AB \bot BK;AC \bot CK\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BM \bot AC\left( {gt} \right)\\CK \bot AC\left( {cmt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BM//CK\) (quan hệ từ vuông góc đến song song)
\( \Rightarrow BH//CK\)
\(\left\{ \begin{array}{l}BK \bot AB\left( {cmt} \right)\\CN \bot AB\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BK//CN\) (quan hệ từ vuông góc đến song song)
\( \Rightarrow BK//CH\)
Tứ giác \(BHCK\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}BH//CK\\BK//CH\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow BHCK\) là hình bình hành (dhnb hbh)
\( \Rightarrow BC,HK\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
Xét \(\left( O \right)\) có: \(OD \bot BC\)
\( \Rightarrow D\) là trung điểm của \(BC\) (quan hệ đường kính và dây cung)
\( \Rightarrow D\) cũng là trung điểm của \(HK\)
\( \Rightarrow H,D,K\) thẳng hàng.
c) Tính \(AH\) theo \(R\).
Xét \(\left( O \right)\) có: \(\angle BAC = \dfrac{1}{2}\angle BOC\) (quan hệ góc nội tiếp và góc ở tâm)
\( \Rightarrow \angle BOC = 2\angle BAC = {2.60^0} = {120^0}\)
\(\Delta OBC\) có \(OB = OC\)
\( \Rightarrow \Delta OBC\)cân tại \(O\)
Mà \(OD\) là đường cao hạ từ đỉnh \(O\)
\( \Rightarrow OD\) là đường phân giác của \(\angle BOC\)
\( \Rightarrow \angle COD = \dfrac{1}{2}\angle BOC = \dfrac{1}{2}{.120^0} = {60^0}\)
\(\Delta OCD\) vuông tại \(D\) (do \(OD \bot BC\left( {gt} \right)\)), nên ta có: \(\cos \angle COD = \dfrac{{OD}}{{OC}}\) (tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông)
\( \Rightarrow OD = OC.\cos \angle COD = R.\cos {60^0} = \dfrac{R}{2}\)
Xét \(\Delta AHK\) có:
\(D\) là trung điểm của \(HK\)
\(O\) là trung điểm của \(AK\)
\( \Rightarrow DO\) là đường trung bình của \(\Delta AHK\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow DO = \dfrac{1}{2}AH\\ \Rightarrow AH = 2DO = 2.\dfrac{R}{2} = R\end{array}\)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
