Cho một tấm tôn hình vuông có cạnh bằng a. Người ta cắt 4 góc của tấm tôn để được một

Câu hỏi số 543196:

Vận dụng

Cho một tấm tôn hình vuông có cạnh bằng a. Người ta cắt 4 góc của tấm tôn để được một tấm tôn mới như hình vẽ.

Từ tấm tôn mới, người ta gặp được một hình chóp tứ giác đều. Để khối chóp thu được có thể tích lớn nhất thì diện tích các miếng tốn bỏ đi là

A. \(\dfrac{{{a^2}}}{3}\)

B. \(\dfrac{{3{a^2}}}{5}\)

C. \(\dfrac{{{a^2}}}{{\sqrt 5 }}\)

D. \(\dfrac{{2{a^2}}}{5}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:543196

Phương pháp giải

Gọi x là độ dài của cạnh đáy của khối chóp

\(h\) là chiều cao của khối chóp, \(h'\) là chiều cao của tam giác cân ở mặt bên của khối chóp.

Bước 1: Biểu diễn h và thể tích V của khối chóp theo a và x

Bước 2: Tìm max của \(f\left( x \right) = - 2a{x^5} + {a^2}{x^4}\) với \(x > 0\)

\({V_{\max }} \Leftrightarrow f{\left( x \right)_{\max }}\)

Bước 3: Tìm phần diện tích bị bỏ

Giải chi tiết

Gọi x là độ dài của cạnh đáy của khối chóp

\(h\) là chiều cao của khối chóp, \(h'\) là chiều cao của tam giác cân ở mặt bên của khối chóp.

Bước 1: Biểu diễn h và thể tích V của khối chóp theo a và x

Ta có: \(x + 2h' = a\)\( \Rightarrow h' = \dfrac{{a - x}}{2}\)

Ta có: \({h^2} + {\left( {\dfrac{x}{2}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{{a - x}}{2}} \right)^2}\) \( \Leftrightarrow h = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a - x}}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{x}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt {{a^2} - 2ax} }}{2}\)

Thể tích khối chóp: \(V = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{\sqrt {{a^2} - 2ax} }}{2}.{x^2}\)\( = \dfrac{1}{6}\sqrt { - 2a{x^5} + {a^2}{x^4}} \)

Bước 2: Tìm max của \(f\left( x \right) = - 2a{x^5} + {a^2}{x^4}\) với \(x > 0\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = - 2a{x^5} + {a^2}{x^4}\) với \(x > 0\).

\({V_{\max }} \Leftrightarrow f{\left( x \right)_{\max }}\)

Ta có: \(f'\left( x \right) = - 10a{x^4} + 4{a^2}{x^3}\), \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \dfrac{{2a}}{5}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \max f\left( x \right) = f\left( {\dfrac{{2a}}{5}} \right) = \dfrac{{16{a^6}}}{{3125}}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = \dfrac{{2a}}{5}\)

Bước 3: Tìm phần diện tích bị bỏ \( \Rightarrow S = {x^2} + 4.\dfrac{1}{2}.x.\dfrac{{a - x}}{2} = \dfrac{{2{a^2}}}{5}\)

Vậy diện tích bị bỏ là \(\dfrac{{3{a^2}}}{5}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.