Gọi \(S\) là tập các số nguyên \(y\) sao cho với mỗi \(y \in S\) có đúng 10 số nguyên \(x\) thỏa

Câu hỏi số 543614:

Vận dụng cao

Gọi \(S\) là tập các số nguyên \(y\) sao cho với mỗi \(y \in S\) có đúng 10 số nguyên \(x\) thỏa mãn \({2^{y - x}} \ge {\log _3}\left( {x + {y^2}} \right)\). Tính tổng các phần tử thuộc \(S\).

A. 7.

B. -4.

C. 1.

D. -1.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:543614

Phương pháp giải

- Cố định 1 ẩn.

- Xét hàm và tìm điều kiện xác định.

- Khảo sát để tìm được miền nghiệm của bất phương trình.

Giải chi tiết

Gọi \({y_0}\) là số thỏa mãn bất phương trình với \(x + {y_0}^2 > 0\).

Xét \(f\left( x \right) = {2^{{y_0} - x}} - {\log _3}\left( {x + {y_0}^2} \right) \ge 0\,\,\left( * \right)\)

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = - {2^{{y_0} - x}}\ln 2 - \dfrac{1}{{\left( {x + {y_0}^2} \right)\ln 3}} < 0,\,\,\forall x > - {y_0}^2\).

Do đó \(f\left( x \right) = {2^{{y_0} - x}} - {\log _3}\left( {x + {y_0}^2} \right) \ge 0\) giảm trên \(\left( { - {y_0}^2; + \infty } \right)\).

Khi đó \(f\left( x \right) = {2^{{y_0} - x}} - {\log _3}\left( {x + {y_0}^2} \right) = 0\) có nghiệm duy nhất \(x = {x_0}\) thỏa mãn \({x_0} + {y_0}^2 > 0\).

Để \(f\left( x \right) = {2^{{y_0} - x}} - {\log _3}\left( {x + {y_0}^2} \right) \ge 0\) có không quá 10 giá trị \(x\) nguyên thỏa mãn

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( { - {y_0}^2 + i} \right) \ge 0,\,\,\forall i = 1,\,\,2,...,\,\,10\,\,\left( 1 \right)\\f\left( { - {y_0}^2 + 11} \right) < 0\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left( 2 \right) \Leftrightarrow {2^{{y_0}^2 + {y_0} - 11}} - {\log _3}11 < 0\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {2^{{y_0}^2 + {y_0} - 11}} < {\log _3}11\\\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {y_0} \in \left[ { - 4;3} \right],\,\,{y_0} \in \mathbb{Z}\end{array}\)

Kiểm tra lần lượt các giá trị \({y_0} \in \left[ { - 4;3} \right],\,\,{y_0} \in \mathbb{Z}\) trong (1) ta thấy \({y_0} = - 4,\,\,{y_0} = 3\) thỏa mãn.

Vậy tổng các phần tử của \(S\) bằng -1.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.