Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) và \(f\left( x \right) \ne

Câu hỏi số 543615:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) và \(f\left( x \right) \ne 0,\,\,\forall x > 0\). Tính tổng \(f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + ... + f\left( {2022} \right)\) biết rằng \(f'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right){f^2}\left( x \right),\,\,f\left( 1 \right) = - \dfrac{1}{2}\).

A. \(\dfrac{{2022}}{{2023}}.\)

B. \(\dfrac{{2021}}{{2022}}.\)

C. \( - \dfrac{{2021}}{{2022}}.\)

D. \( - \dfrac{{2022}}{{2023}}.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:543615

Phương pháp giải

- Tìm hàm số \(f\left( x \right)\).

- Tính tổng \(f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + ... + f\left( {2022} \right)\).

Giải chi tiết

Ta có: \(f'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right){f^2}\left( x \right)\), \(f\left( x \right) \ne 0,\,\,\forall x > 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} = 2x + 1,\,\,\forall x > 0\\ \Rightarrow - \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} = {x^2} + x + C,\,\,\forall x > 0\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} = - {x^2} - x + C,\,\,\forall x > 0\end{array}\)

Mà \(f\left( 1 \right) = - \dfrac{1}{2}\) nên \(C = 0\).

Khi đó: \(f\left( x \right) = - \dfrac{1}{{{x^2} + x}} = - \left( {\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)\).

Ta có: \(f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + ... + f\left( {2022} \right)\)\( = - \left( {\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + ... + \dfrac{1}{{2022}} - \dfrac{1}{{2023}}} \right)\)\( = - \left( {\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{{2023}}} \right) = - \dfrac{{2022}}{{2023}}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.