Cho tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\) và nội tiếp đường tròn tâm \(O\), \(AD\) là đường kính của

Câu hỏi số 543617:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\) và nội tiếp đường tròn tâm \(O\), \(AD\) là đường kính của đường tròn tâm \(O\). Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi cho phần tô đậm quay quanh đường thẳng \(AD\) bằng

A. \(\dfrac{{\pi \sqrt 3 }}{{24}}{a^3}\).

B. \(\dfrac{{20\pi \sqrt 3 }}{{217}}{a^3}\).

C. \(\dfrac{{4\pi \sqrt 3 }}{{27}}{a^3}\).

D. \(\dfrac{{23\pi \sqrt 3 }}{{216}}{a^3}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:543617

Phương pháp giải

- Tính thể tích khối cầu.

- Tính thể tích của khối nón.

- Thể tích của khối tròn xoay thu được bằng hiệu của thể tích khối cầu và thể tích của khối nón.

Giải chi tiết

Ta có: \(\Delta ABC\) đều có cạnh \(a\), \(AH\) là đường trung tuyến.

\( \Rightarrow AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2},\,\,BH = CH = \dfrac{a}{2}\).

Do tam giác \(\Delta ABC\) đều có cạnh \(a\) có \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp nên \(OA = \dfrac{2}{3}AH = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay tam giác \(ABC\) quay cạnh \(AD\) là

\({V_1} = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2}\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\).

Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay đường tròn tâm \(O\) quanh cạnh \(AD\) là

\({V_2} = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{4}{3}\pi {\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)^3} = \dfrac{{4\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{27}}\).

Vậy thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi cho phần tô đậm quay quanh đường thẳng \(AD\) là

\(V = {V_2} - {V_1} = \dfrac{{4\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{27}} - \dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{24}} = \dfrac{{23\pi \sqrt 3 }}{{216}}{a^3}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.