Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\), thỏa mãn \(2f\left( x \right)

Câu hỏi số 543619:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\), thỏa mãn \(2f\left( x \right) + xf'\left( x \right) = 3x + 10,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( 1 \right) = 6\). Biết \(\int\limits_{ - 1}^4 {\dfrac{{\ln \left( {2 + \sqrt {f\left( x \right)} } \right)}}{{{f^2}\left( x \right) - 6f\left( x \right) + 9}}dx = a\ln 5 + b\ln 6 + \sqrt c \ln \left( {2 + \sqrt 3 } \right),\,\,a,b,c \in \mathbb{Q}} \). Giá trị của biểu thức \(T = a + b + c\) thuộc khoảng nào sau đây?

A. \(\left( {1;2} \right)\)

B. \(\left( {2;3} \right)\).

C. \(\left( {0;1} \right)\).

D. \(\left( { - 1;0} \right)\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:543619

Phương pháp giải

- Tìm hàm số \(f\left( x \right)\).

- Áp dụng công thức tính tích phân từng phần \(\int\limits_a^b {udv = \left. {uv} \right|} _a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

Giải chi tiết

Ta có: \(2f\left( x \right) + xf'\left( x \right) = 3x + 10,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2xf\left( x \right) + {x^2}f'\left( x \right) = 3{x^2} + 10x,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2}f\left( x \right)} \right)' = 3{x^2} + 10x,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \int {\left( {{x^2}f\left( x \right)} \right)'dx = \int {\left( {3{x^2} + 10x} \right)dx} ,\,\,\forall x \in \mathbb{R}} \\ \Leftrightarrow {x^2}f\left( x \right) = {x^3} + 5{x^2} + C,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\end{array}\)

Lại có: \(f\left( 1 \right) = 6\) \( \Rightarrow C = 0\).

Do đó \(f\left( x \right) = x + 5,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Khi đó \(\int\limits_{ - 1}^4 {\dfrac{{\ln \left( {2 + \sqrt {f\left( x \right)} } \right)}}{{{f^2}\left( x \right) - 6f\left( x \right) + 9}}dx = } \int\limits_{ - 1}^4 {\dfrac{{\ln \left( {2 + \sqrt {x + 5} } \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}dx} \)

Đặt \(t = \sqrt {x + 5} \Rightarrow x = {t^2} - 5 \Rightarrow dx = 2tdt\).

\(\int\limits_{ - 1}^4 {\dfrac{{\ln \left( {2 + \sqrt {x + 5} } \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}dx} = \int\limits_2^3 {\dfrac{{\ln \left( {2 + t} \right)}}{{{{\left( {{t^2} - 3} \right)}^2}}}2tdt} = \int\limits_2^3 {\ln \left( {2 + t} \right)d\left( { - \dfrac{1}{{{t^2} - 3}}} \right)} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {2 + t} \right)\\dv = d\left( { - \dfrac{1}{{{t^2} - 3}}} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{{t + 2}}dt\\v = - \dfrac{1}{{{t^2} - 3}} + 1 = \dfrac{{{t^2} - 4}}{{{t^2} - 3}}\end{array} \right.\)

\(\int\limits_2^3 {\ln \left( {2 + t} \right)d\left( { - \dfrac{1}{{{t^2} - 3}}} \right)} = \left. {\dfrac{{\left( {{t^2} - 4} \right)\ln \left( {2 + t} \right)}}{{{t^2} - 3}}} \right|_2^3 - \int\limits_2^3 {\dfrac{{t - 2}}{{{t^2} - 3}}dt = \dfrac{{5\ln 5}}{6} - } \int\limits_2^3 {\dfrac{{t - 2}}{{{t^2} - 3}}dt} \)

Ta có:

\(\int\limits_2^3 {\dfrac{{t - 2}}{{{t^2} - 3}}dt = } \int\limits_2^3 {\dfrac{t}{{{t^2} - 3}}dt - \int\limits_2^3 {\dfrac{2}{{{t^2} - 3}}dt = \dfrac{1}{2}\left. {\ln \left( {{t^2} - 3} \right)} \right|_2^3 - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {\left. {\ln \left( {t - \sqrt 3 } \right)} \right|_2^3 - \left. {\ln \left( {t + \sqrt 3 } \right)} \right|_2^3} \right)} } = \dfrac{1}{2}\ln 6 - \dfrac{{\ln \left( {2 + \sqrt 3 } \right)}}{{\sqrt 3 }}\)

Vậy \(\int\limits_{ - 1}^4 {\dfrac{{\ln \left( {2 + \sqrt {f\left( x \right)} } \right)}}{{{f^2}\left( x \right) - 6f\left( x \right) + 9}}dx = \dfrac{{5\ln 5}}{6} - \dfrac{1}{2}\ln 6 + \dfrac{{\ln \left( {2 + \sqrt 3 } \right)}}{{\sqrt 3 }}} \).

Vậy \(a + b + c = \dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3} \in \left( {0;1} \right)\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.