Số nghiệm của phương trình \(\dfrac{{\sin x.\sin 2x + 2\sin x.co{s^2}x + \sin x + \cos x}}{{\sin x + \cos x}}

Câu hỏi số 545205:

Vận dụng

Số nghiệm của phương trình \(\dfrac{{\sin x.\sin 2x + 2\sin x.co{s^2}x + \sin x + \cos x}}{{\sin x + \cos x}} = \sqrt 3 \cos 2x\) trong khoảng \(\left( { - 4;4} \right)\) là

A. 3

B. 4

C. 5

D. 2

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:545205

Phương pháp giải

Đưa về phương trình bậc nhất với sin và cos

Giải phương trình và tìm ra các giá trị k nguyên thỏa mãn

Giải chi tiết

ĐK: \(\sin x + \cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \). Ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{\sin x.\sin 2x + 2\sin x.co{s^2}x + \sin x + \cos x}}{{\sin x + \cos x}} = \sqrt 3 \cos 2x\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sin x.\sin 2x + \sin 2x.\cos x + \sin x + \cos x}}{{\sin x + \cos x}} = \sqrt 3 \cos 2x\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sin 2x\left( {\sin x + \cos x} \right) + \left( {\sin x + \cos x} \right)}}{{\sin x + \cos x}} = \sqrt 3 \cos 2x\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {\sin 2x + 1} \right)}}{{\sin x + \cos x}} = \sqrt 3 \cos 2x\\ \Leftrightarrow \sin 2x + 1 = \sqrt 3 \cos 2x\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 2x - \dfrac{1}{2}\sin 2x = 1\\ \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \dfrac{\pi }{6}} \right) = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 2x + \dfrac{\pi }{6} = \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi {\rm{ }}\left( {tm} \right)\\x = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi {\rm{ }}\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(k\) nguyên, ta có \( - 4 < \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi < 4 \Leftrightarrow k \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}\).

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.