Tính số nghiệm nguyên của bất phương trình \(2{\log _5}\dfrac{{{x^2} + 1}}{x} + 2{x^4} - 6{x^2} + 1 \le

Câu hỏi số 547927:

Vận dụng cao

Tính số nghiệm nguyên của bất phương trình \(2{\log _5}\dfrac{{{x^2} + 1}}{x} + 2{x^4} - 6{x^2} + 1 \le 0\).

A. 2.

B. 4.

C. 0.

D. 1.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:547927

Phương pháp giải

- Tìm ĐKXĐ.

- Xét các trường hợp \(x \ge 2\) và \(x < 2\).

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(x > 0\)

Xét \(f\left( x \right) = 2{\log _5}\dfrac{{{x^2} + 1}}{x} + 2{x^4} - 6{x^2} + 1,\,\,\forall x \ge 2\).

Ta có: \(f'\left( x \right) = 2.\dfrac{{1 - \dfrac{1}{{{x^2}}}}}{{\left( {\dfrac{{{x^2} + 1}}{x}} \right)\ln 5}} + 8{x^3} - 12x\)

Với \(\forall x \ge 2\) ta có:

\(\begin{array}{l} + \,\,1 - \dfrac{1}{{{x^2}}} > 0 \Rightarrow 2.\dfrac{{1 - \dfrac{1}{{{x^2}}}}}{{\left( {\dfrac{{{x^2} + 1}}{x}} \right)\ln 5}} > 0\\ + \,\,8{x^3} - 12x = 4x\left( {2{x^2} - 3} \right) > 0\\ \Rightarrow f'\left( x \right) > 0,\,\,\forall x \ge 2\end{array}\)

Do đó hàm số \(f\left( x \right) = 2{\log _5}\dfrac{{{x^2} + 1}}{x} + 2{x^4} - 6{x^2} + 1,\,\,\forall x \ge 2\) đồng biến trên \(\left[ {2; + \infty } \right)\).

Khi đó \(f\left( x \right) \ge f\left( 2 \right) = 11 - 2{\log _5}2 > 0,\,\,\forall x \ge 2\).

Do đó bất phương trình không có nghiệm \(x \ge 2\).

Ta có \(x = 1\) thỏa mãn bất phương trình: \(2{\log _5}2 - 3 < 0\).

Vậy bất phương trình đã cho có 1 nghiệm nguyên.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.