Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(M,N,P,Q\) lần lượt là trung điểm của

Câu hỏi số 548392:

Vận dụng

Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(M,N,P,Q\) lần lượt là trung điểm của \(AD,DC,D'C',A'D'\). Chứng minh rằng:

a) \(CB//\left( {ADDA'} \right)\).

b) \(MNPQ\) là hình bình hành và \(\left( {MNPQ} \right)//\left( {ACC'A'} \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:548392

Phương pháp giải

a) \(CB'//DA'\)\( \Rightarrow CB'//\left( {A{\rm{DD}}'A'} \right)\)

b) + Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

+ Nếu mp \(\left( Q \right)\) chứa hai đường thẳng \(a\) và \(b\) cắt nhau, mà \(a\) và \(b\) cùng song song với mp \(\left( P \right)\) thì hai mặt phẳng này song song với nhau.

\(\left. \begin{array}{l}MN = QP = \dfrac{1}{2}AC\\MN//QP\end{array} \right\} \Rightarrow MNPQ\) là hình chữ nhật.

\(\left. \begin{array}{l}MN//\left( {ACC'A'} \right)\\MQ//\left( {ACC'A'} \right)\\MN \cap MQ = \left\{ M \right\}\end{array} \right\} \Rightarrow (MNPQ)//\left( {ACC'A'} \right)\)

Giải chi tiết

a) Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp chữ nhật \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}CD//A'B'\\CD = A'B'\end{array} \right.\) (định nghĩa hình hộp chữ nhật)

\( \Rightarrow CDA'B'\)là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

\( \Rightarrow CB'//DA'\) (tính chất hình bình hành)

Mà \(DA' \subset \left( {A{\rm{DD}}'A'} \right)\)

\( \Rightarrow CB'//\left( {ADD'A'} \right)\) (đpcm)

b) + Xét \(\Delta ACD\) có:

\(M\) là trung điểm của \(AD\)

\(N\) là trung điểm của \(CD\)

\( \Rightarrow MN\) là đường trung bình của \(\Delta ACD\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}MN//AC\\MN = \dfrac{1}{2}AC\end{array} \right.\)

+ Xét \(\Delta A'C'D'\) có:

\(Q\) là trung điểm của \(A'D'\)

\(P\) là trung điểm của \(C'D'\)

\( \Rightarrow QP\) là đường trung bình của \(\Delta A'C'D'\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}QP//A'C'\\QP = \dfrac{1}{2}A'C'\end{array} \right.\)

Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp chữ nhật \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AA' = CC'\\AA'//CC'\end{array} \right.\) (định nghĩa hình hộp chữ nhật)

\( \Rightarrow AA'C'C\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết) \( \Rightarrow AC = A'C'\)(tính chất hình bình hành)

\( \Rightarrow MN = QP = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}A'C'\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}MN = QP\left( {cmt} \right)\\MN//QP\left( {cmt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow MNPQ\) là hình bình hành (dấu hiện nhận biết)

Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp chữ nhật \( \Rightarrow ADD'A'\) là hình chữ nhật

Lại có, \(M,Q\) lần lượt là trung điểm của \(AD,A'D'\left( {gt} \right)\)

\(MQ\) là đường trung bình của \(ADD'A'\) (định nghĩa đường trung bình)

\( \Rightarrow MQ//AA'//DD'\). Mà \(AA' \subset \left( {ACC'A'} \right) \Rightarrow MQ//\left( {ACC'A'} \right)\)

Ta có: \(MN//AC(cmt)\). Mà \(AC \subset \left( {ACC'A'} \right) \Rightarrow MN//\left( {ACC'A'} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {MNPQ} \right)//\left( {ACC'A'} \right)\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link