Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(BD;B'D'\)a) Nêu

Câu hỏi số 548393:

Vận dụng

Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(BD;B'D'\)

a) Nêu vị trí tương đối của các cặp đường thẳng \(MN\) và \(BD\); \(MN\) và \(CC'\); \(AC\) và \(A'D'\)

b) Chứng minh: \(MN \bot \left( {A'B'C'D'} \right)\).

c) Biết \(AA' = 20cm;AB = 30cm;AD = 40cm\). Tính \(B'D';B'M\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:548393

Phương pháp giải

a) + Hai đường thẳng cắt nhau nếu chúng có một điểm chung, khi đó có một mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó.

+ Hai đường thẳng song song nếu chúng cùng nằm trên một mặt phẳng và không có điểm chung nào.

+ Hai đường thẳng chéo nhau nếu chúng không cùng nằm trên một mặt phẳng nào đó.

b) \(\left. \begin{array}{l}BB' \bot \left( {A'B'C'D'} \right)\\MN//BB'\end{array} \right\} \Rightarrow MN \bot \left( {A'B'C'D'} \right)\)

c) Áp dụng Py – ta – go vào hai tam giác vuông: \(\Delta A'B'D'\) và \(\Delta BB'M\)

Giải chi tiết

a) Xét mặt phẳng \(\left( {BDD'B'} \right)\) có: \(MN \cap BD = \left\{ M \right\}\).

Do đó, \(MN\) cắt \(BD\).

Vì \(\left. \begin{array}{l}MB = NB'\\MB//NB'\end{array} \right\} \Rightarrow MBB'N\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)\( \Rightarrow MN//BB'//CC'\)

Ta có \(AC,A'D'\) không cùng thuộc mặt phẳng nào nên \(AC,A'D'\) chéo nhau.

b) Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp chữ nhật nên \(\left\{ \begin{array}{l}BB' \bot A'B'\\BB' \bot B'C'\\A'B' \cap B'C' = \left\{ {B'} \right\}\end{array} \right. \Rightarrow BB' \bot \left( {A'B'C'D'} \right)\)

Mà \(MN//BB' \Rightarrow MN \bot \left( {A'B'C'D'} \right)\)

c) Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp chữ nhật \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AA' = BB' = 20cm\\AB = A'B' = 30cm\\AD = A'D' = 40cm\end{array} \right.\)

Áp dụng Py – ta – go vào \(\Delta A'B'D'\) vuông tại \(A'\) , ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,B'D{'^2} = A'D{'^2} + A'B{'^2}\\ \Leftrightarrow B'D{'^2} = {40^2} + {30^2}\\ \Leftrightarrow B'D{'^2} = 2500\\ \Rightarrow B'D' = 50cm\end{array}\)

\(M\) là trung điểm của \(BD \Rightarrow BM = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{1}{2}B'D' = 25cm\)

Áp dụng Py – ta – go vào \(\Delta BB'M\) vuông tại \(B\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,B'{M^2} = M{B^2} + BB{'^2}\\ \Leftrightarrow B'{M^2} = {25^2} + {20^2}\\ \Leftrightarrow B'{M^2} = 1025\\ \Rightarrow B'M = 5\sqrt {41} cm\end{array}\)

Vậy \(B'D' = 50cm\,;\,B'M = 5\sqrt {41} cm\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link