Cho số phức \({z_1},\,\,{z_2}\) thoả mãn \(\left| {{z_1} + 1 - 2i} \right| = \left| {i{z_2} + 1 - i} \right| =

Câu hỏi số 548610:

Vận dụng cao

Cho số phức \({z_1},\,\,{z_2}\) thoả mãn \(\left| {{z_1} + 1 - 2i} \right| = \left| {i{z_2} + 1 - i} \right| = 1\). Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| {3{z_1} + {z_2} - i} \right|\). Tính M.m.

A. 22

B. 19

C. 24

D. 21

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:548610

Phương pháp giải

- Đặt \(w = - 3{z_1} + i\). Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w.

- Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z₂.

- Chứng minh \(P = \left| {3{z_1} + {z_2} - i} \right| = \left| { - \left( {w + i} \right) + {z_2} - i} \right| = \left| {{z_2} - w} \right| = MN\) với M, N lần lượt là điểm biểu diễn số phức w và z₂.

- Vẽ hình và tìm GTLN, GTNN của P.

Giải chi tiết

Đặt \(w = - 3{z_1} + i \Rightarrow {z_1} = \dfrac{{ - w + i}}{3}\) \( \Rightarrow \left| {\dfrac{{ - w + i}}{3} + 1 - 2i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {w - 3 + 5i} \right| = 3\).

Suy ra tập hợp biểu diễn số phức w là đường tròn (C₁) tâm A(3;-5), bán kính R₁ = 3.

Mặt khác ta có: \(\left| {i{z_2} + 1 - i} \right| = 1\, \Leftrightarrow \left| {{z_2} - i - 1} \right| = 1\).

Suy ra tập hợp biểu diễn số phức z₂ là đường tròn (C₂) tâm B(1;1), bán kính R₂= 1.

Mà \(P = \left| {3{z_1} + {z_2} - i} \right| = \left| { - \left( {w + i} \right) + {z_2} - i} \right| = \left| {{z_2} - w} \right|\).

Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn số phức w và z₂ => P = MN, với \(M \in \left( {{C_1}} \right),\,\,N \in \left( {{C_2}} \right)\).

Ta thấy \(\left\{ \begin{array}{l}{P_{\max }} = {R_1} + {R_2} + AB = 4 + 2\sqrt {10} \\{P_{\min }} = AB - {R_1} - {R_2} = 2\sqrt {10} - 4\end{array} \right.\).

Vậy \(M.m = \left( {4 + 2\sqrt {10} } \right)\left( {2\sqrt {10} - 4} \right) = 24\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.