Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\), đáy là hình thoi cạnh \(a\), \(\angle BAD = 60^\circ \). Trên

Câu hỏi số 548641:

Vận dụng

Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\), đáy là hình thoi cạnh \(a\), \(\angle BAD = 60^\circ \). Trên \(SA,SB,SC,SD\) lần lượt lấy các điểm \(M,N,P,Q\) sao cho \(SM = \dfrac{1}{3}SA;SN = \dfrac{1}{3}SB;SP = \dfrac{1}{3}SC;SQ = \dfrac{1}{3}SD\).

a) Chứng minh rằng: \(MNPQ\) là hình thoi và \(MNPQ.ABCD\) là hình chóp cụt đều.

b) Chứng minh rằng: \(\angle NMQ = 60^\circ \)

c) Tính diện tính hình thoi \(MNPQ\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:548641

Phương pháp giải

a)\(MN = NP = PQ = MQ = \dfrac{1}{3}a \Rightarrow MNPQ\) là hình thoi

Cắt hình chóp đều bằng mặt phẳng song song với mặt phẳng đáy, phần hình chóp nằm giữa mặt phẳng cắt và mặt phẳng đáy gọi là hình chóp cụt đều.

\(\left. \begin{array}{l}MN//AB\\NP//BC\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {MNPQ} \right)//\left( {ABCD} \right)\)

b) \(\Delta ABD \sim \Delta MNQ(c.c.c)\) với tỉ số đồng dạng \(k = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \angle NMQ = \angle BAD = 60^\circ \)

c) \({S_{MNPQ}} = 2.{S_{\Delta MNQ}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{18}}\)

Giải chi tiết

a) Xét \(\Delta SAB\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}SM = \dfrac{1}{3}SA\left( {gt} \right)\\SN = \dfrac{1}{3}SB\left( {gt} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow MN//AB\)(định lí Ta - let đảo)

\( \Rightarrow \dfrac{{MN}}{{AB}} = \dfrac{{SM}}{{SA}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow MN = \dfrac{1}{3}a\)

Chứng minh tương tự ta có \(NB = PQ = QM = \dfrac{1}{3}a\)

Tứ giác \(MNPQ\) có: \(MN = NB = PQ = QM\)

\( \Rightarrow MNPQ\) là hình thoi (dấu hiệu nhận biết)

Vì \(\left. \begin{array}{l}MN//AB\\NP//BC\\MN \cap NP = \left\{ N \right\}\\AB \cap BC = \left\{ B \right\}\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {MNPQ} \right)//\left( {ABCD} \right)\)

Vậy \(MNPQ.ABCD\) là hình tạo bởi hình chóp đều \(S.ABCD\)khi bị cắt bởi \(\left( {MNPQ} \right)\) song song với mặt phẳng chứa mặt đáy nên nó là hình chóp cụt đều.

b) Xét \(\Delta SBD\) có: \(SN = \dfrac{1}{3}SB;\;SQ = \dfrac{1}{3}SD \Rightarrow NQ = \dfrac{1}{3}BD\)

\(\Delta ABD \sim \Delta MNQ(c.c.c)\) với tỉ số đồng dạng \(k = 3\)

\( \Rightarrow \angle NMQ = \angle BAD = 60^\circ \) (vì \(\Delta ABD\)là tam giác đều)

c) Vì \(\Delta ABD \sim \Delta NNQ\) theo tỉ số \(k = 3 \Rightarrow \dfrac{{{S_{\Delta ABD}}}}{{{S_{MNQ}}}} = {3^2} = 9 \Rightarrow {S_{\Delta MNQ}} = \dfrac{1}{9}{S_{\Delta ABD}}\)

Ta có \(\Delta ABD\) là tam giác đều cạnh \(a \Rightarrow {S_{\Delta ABD}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow {S_{\Delta MNQ}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{36}}\)

\({S_{MNPQ}} = 2.{S_{\Delta MNQ}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{18}}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link