Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(6cm\), chiều cao \(4cm\). Gọi

Câu hỏi số 548642:

Vận dụng

Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(6cm\), chiều cao \(4cm\). Gọi \(O\)là giao điểm của \(A'C'\) và \(B'D'\).

a) Chứng minh rằng: \(O.ABCD\) là hình chóp đều.

b) Tính diện tích mặt bên của hình chóp \(O.ABCD\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:548642

Phương pháp giải

a) + Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều, các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau có chung đỉnh.

+ Trong hình chóp đều, chân đường cao trùng với tâm của đáy.

Vì \(ABCD\) là hình vuông và \(OA = OB = OC = OD\)

\( \Rightarrow O.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều.

b) \({S_{\Delta OBC}} = {S_{\Delta OAB}} = {S_{\Delta OAD}} = {S_{\Delta OCD}} = \dfrac{1}{2}.OM.CD = 15c{m^2}\)

Giải chi tiết

Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp chữ nhật

\( \Rightarrow AA',BB',CC',DD'\) bằng nhau và cùng vuông góc với \(\left( {A'B'C'D'} \right)\)

\( \Rightarrow AA{\rm{'}} \bot A'O,\;BB' \bot B'O,\;CC' \bot C'O,\;DD' \bot D'O\)

Vì \(A'B'C'D'\) là hình vuông

\(\begin{array}{l} \Rightarrow OA' = OB' = OC' = OD'\\ \Rightarrow \Delta AA{\rm{'}}O = \Delta BB'O = \Delta CC'O = \Delta DD'O\end{array}\)

\( \Rightarrow OA = OB = OC = OD\)

Xét hình chóp \(O.ABCD\) có:

\(ABCD\) là hình vuông

\(OA = OB = OC = OD\)

\( \Rightarrow O.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều.

b) Vì \(A'B'C'D'\) là hình vuông \( \Rightarrow B'D' = 6\sqrt 2 \Rightarrow OD' = 3\sqrt 2 cm\)

\(\Delta DD'O\) vuông tại \(D'\), theo định lý Py – ta – go, ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,O{D^2} = OD{'^2} + DD{'^2}\\ \Leftrightarrow O{D^2} = {\left( {3\sqrt 2 } \right)^2} + {4^2}\\ \Leftrightarrow O{D^2} = 34\\ \Rightarrow OD = \sqrt {34} \,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)

Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\) mà \(\Delta OCD\) là tam giác cân \( \Rightarrow OM \bot CD\)

\(\Delta ODM\) vuông tại \(M\), áp dụng định lý Py – ta – go, ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,O{D^2} = O{M^2} + D{M^2}\\ \Leftrightarrow O{M^2} = O{D^2} - D{M^2}\\ \Leftrightarrow O{M^2} = {\left( {\sqrt {34} } \right)^2} - {3^2}\\ \Leftrightarrow O{M^2} = 25\\ \Rightarrow OM = 5\,cm\end{array}\)

\({S_{\Delta OCD}} = \dfrac{1}{2}.OM.CD = \dfrac{1}{2}.5.6 = 15\,\,c{m^2}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link