Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật tâm \(I,\,AB = a;\,AD = 2a\). Gọi \(M\) là

Câu hỏi số 548796:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật tâm \(I,\,AB = a;\,AD = 2a\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(AB\) và \(N\) là trung điểm của đoạn \(MI\). HÌnh chiếu vuông góc của điểm \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) trùng với điểm \(N\). Biết góc tạo giữa đường thẳng \(SB\) với đáy bằng \({45^0}.\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(MN\) và \(SD\) theo \(a\) là:

A. \(a\sqrt 6 \)

B. \(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\).

C. \(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

D. \(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:548796

Phương pháp giải

+ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng và hình chiếu của đường thẳng đó trên mặt phẳng.

+ Nếu \(a//\,\left( P \right) \Rightarrow d\left( {a,\,\,\left( P \right)} \right) = d\left( {M,\,\left( P \right)} \right)\) trong đó \(M\) là một điểm bất kì thuộc \(a.\)

+ Để tính khoảng cách từ một điểm \(M\) đến một mặt phẳng \(\left( P \right)\) ta cần xác định hình chiếu vuông góc \(H\) của điểm \(M\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\). Khi đó, \(d\left( {M;\,\,\left( P \right)} \right) = MH\).

Giải chi tiết

Vì \(SN \bot \left( {ABCD} \right)\, \Rightarrow \angle \left( {SB;\,\left( {ABCD} \right)} \right) = \,\left( {SB;\,BN} \right) = \,\angle SBN = {45^0}\).

Ta có \(MI\) là đường trung bình của \(\Delta ABD \Rightarrow \,\,MI//\,\,AD \Rightarrow MN//\left( {SAD} \right)\).

Do đó, \(d\left( {MN,\,\,SD} \right) = d\left( {MN;\,\,\left( {SAD} \right)} \right) = \,d\left( {N;\,\,\left( {SAD} \right)} \right)\).

Dựng \(NH \bot AD\,\,\left( {H \in AD} \right)\), dựng \(NK \bot SH;\,K \in SH\).

Khi đó, \(d\left( {N;\,\,\left( {SAD} \right)} \right) = \,NK\).

\(NH = MA = \,\dfrac{1}{2}AB = \,\dfrac{a}{2}\)

\(\begin{array}{l}MI = \,\dfrac{1}{2}AD = a;\,\,MN = \,\dfrac{1}{2}MI = \,\dfrac{a}{2}\\NB = \,\sqrt {M{N^2} + M{B^2}} = \,\sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \,\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\\SN = NB.\tan \widehat {SBN} = \,\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2},\tan {45^0} = \,\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{N{K^2}}} = \,\dfrac{1}{{N{H^2}}} + \,\dfrac{1}{{S{N^2}}} = \,\dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{4}{{2{a^2}}} = \dfrac{6}{{{a^2}}}\\ \Rightarrow NK = \,\dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.